Мои Конспекты
Главная | Обратная связь

...

Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

И интерполирование с кратными узлами.





Помощь в ✍️ написании работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Пусть в каждом узле (i=1, 2,…, n) известны не только значения некоторой функция , но и значения ее производных , k =1, 2,…, – 1. В этом случае говорят, что узел имеет кратность . При интерполировании с кратными узлами строится интерполяционный многочлен Эрмита степени s-1 ( ), для которого выполняются условия

, ,..., , .

Чтобы доказать существование такого многочлена, построим его и получим оценку его погрешности.

Построение многочлена .

Для простоты изложения построим многочлен (s=5) по двум кратным узлам. Пусть узел трехкратный ( ), а узел двукратный ( ). В этих узлах должны выполняться условия

, , ,

, .

Введем дополнительные вспомогательные узлы , , , , , . Эти пять узлов различны, можно построить единственный интерполяционный многочлен четвертого порядка. Запишем этот многочлен в виде интерполяционной формулы Ньютона с разделенными разностями

.

Для многочлена справедлива оценка

(11)

Используя формулу (10), покажем, что при существуют пределы коэффициентов многочлена . Заметим, что при узлы , и стремятся к , а и – к .

Вычислим пределы коэффициентов :

1. при ;

2. при , обозначим этот предел ;

3. при , обозначим этот предел ;

4.

Предел этого выражения при обозначим , он равен

;

5. Аналогично получается, что

при .

Таким образом, при

Из формулы (11) при получается оценка для

Многочлен построен, проверим выполнение условий интерполяции:

1. первое условие проверяется подстановкой ;

2. вычислим

+ ,

отсюда следует ;

3. вычислим

+ ,

отсюда следует

Условия, заданные в точке , выполнены. Многочлен единствен и не изменится, если объявить первым узлом , а вторым , тогда

Легко убедиться, что и .

Аналогично, только более громоздко, строится интерполяционный многочлен с кратными узлами для произвольного значения s.

При построении таблицы разделенных разностей в случае кратных узлов сначала требуется заполнить строки, соответствующие кратным узлам. Остальные разделенные разности вычисляются обычным способом. Например, если имеет кратность 4, то этому узлу соответствуют четыре строки таблицы разделенных разностей, имеющие вид

Здесь , , .

Пример. Рассмотрим функцию

,

вторая производная которой в точке терпит разрыв первого рода. Сравним с построенным для неё интерполяционным многочленом с кратными узлами. Выберем три узла, два двукратных и , и один простой . Таблица разделенных разностей для этих узлов имеет вид

Интерполяционный многочлен имеет вид

Различие между функцией и соответствующим ей интерполяционным многочленом хорошо видно на рисунке

Упражнения.

1. Постройте интерполяционный многочлен с кратными узлами для функции, у которой её значения и значения нескольких её производных заданы следующим образом

2. Постройте интерполяционный многочлен с кратными узлами для функции со следующими значениями самой функции и нескольких её производных

Доверь свою работу ✍️ кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.