Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Интервальное оценивание.



Заменяя неизвестный параметр θ его оценкой Х, мы допускаем некоторую ошибку ∆, т.е. .

∆ - называется предельной ошибкой выборки, т.е. предельная ошибка выборки – max отклонение по модулю оценки от оцениваемого параметра, которое мы можем гарантировать с определенной надежностью.

Определение: Надежностью или доверительной вероятностью называется вероятность того, что оценка отличается от оцениваемого параметра не более, чем на ∆.

(17) -доверительная вероятность (надежность).

Р – доверительная вероятность (надежность);

х – оценка, случайная величина;

θ – неизвестный параметр, число;

∆ – предельная ошибка выборки;

Доверительная вероятность при оценивании среднего значения.

Пусть требуется оценить неизвестное генеральное среднее, т.е. параметр . В соответствие с теоремой 3 его оценкой является выборочная средняя. По теореме 3 она имеет нормальный закон распределения, параметры которого известны из теоремы 1 (формулы 9 и 10).

Рассмотрим формулу *:

Применим формулу * к выборочной средней. Получаем:

(18) - доверительная вероятность для оценки выборочной средней, где:

Р – доверительная вероятность (надежность);

- выборочное среднее, случайная величина, оценка, имеет нормальный закон распределения;

- генеральное среднее, неизвестный параметр;

∆ - предельная ошибка выборки;

- средняя квадратическая ошибка для выборочной средней (среднее квадратическое отклонение для выборочной средней) (см. табл. 3).

Доверительная вероятность при оценивании генеральной доли (вероятности).

Пусть требуется оценить неизвестный генеральный параметр. Р – генеральная доля (вероятность), т.е. в формуле 17 неизвестным параметром является θ. В качестве оценки Х берем выборочную долю w (в соответствие с теоремой 4). Т.к. по теореме 2 выборочная доля w имеет нормальный закон распределения с параметрами 11, 12, то применим формулу * к случайной величине w:

(19) - доверительная вероятность для оценки доли, где:

Р – доверительная вероятность;

w – выборочная доля, случайная величина, имеет нормальный закон распределения, оценка;

р – генеральная доля или вероятность признака, неизвестный параметр;

∆ - предельная ошибка;

- средняя квадратическая ошибка для доли (см. табл. 3, 2-я строчка), среднее квадратическое отклонение для выборочной доли.

Для решения задач:

1. для доли или для средней;

2. определение доверительной вероятности;

3. определение (оценка) предельной ошибки ∆ и доверительного интервала (х-∆; х+∆);

4. определение необходимого объема выборки n – повторная, n' – бесповторная;

Пример:

С целью изучения средней производительности ткачей по схеме случайной бесповторной выборки было отобрано 100 ткачей из 2000. результаты занесены в таблицу.

1) Определить вероятность того, что средняя производительность ткача на всем комбинате отличается от средней производительности в выборке не более чем на 2 метра (по модулю).

 

 

Дано:

бесповторная выборка

производительность в метрах α - β кол-во ткачей ni xi xi *ni
55-65 1438,83
65-75 2832,2
75-85 144,4
85-95 1902,69
95-105 2620,88
m = 5 n = 100  

 

Формула доверительной вероятности для средней:

- средняя производительность ткача

2) В условиях предыдущей задачи определить какова максимальная ошибка Δ и каков доверительный интервал для средней производительности ткача, который можно гарантировать с вероятностью Р = 0,95.

Дано:

Используя формулу 18 и данные, полученные в предыдущей задаче:

используя таблицу наоборот, получаем

(80,9; 93,71)

Замечание: Доверительный интервал имеет границы, которые являются случайными величинами.

Ответ: с доверительной вероятностью 0,95 можно утверждать, что интервал (80,9; 93,71) генеральную среднюю – среднюю производительность ткачей на всем комбинате.

3) Какой должен быть объем повторной и бесповторной выборок, чтобы в условиях данной задачи с доверительной вероятностью Р равной 0,95 можно было гарантировать ошибку Δ = 1,81 для средней производительности ткачей.

Дано:

Используя формулу 18 и данные, полученные в предыдущей задаче:

используя таблицу наоборот, получаем

а) пусть выборка повторная:

Объем повторной выборки при оценке среднего значения:

(20)

б) бесповторная выборка:

Объем бесповторной выборки при оценке среднего значения:

(21)

Ответ: нужно обследовать 105 ткачей для повторной выборки (100 для бесповторной) чтобы с вероятностью Р = 0,95 гарантировать наибольшее отклонение Δ = 1,81 для средней производительности ткачей.

4) В условиях исходной задачи определить вероятность того, что доля ткачей, у которых производительность не более 75 метров на всем комбинате отличается от доли таких ткачей в выборке по модулю не более чем на 0,05.

Дано:

- выборочная доля

Ответ: с вероятность 0,778 можно утверждать, что доля ткачей, у которых производительность не более 75 метров на всем комбинате отличается от доли таких ткачей в выборке по модулю не более чем на 0,05.

5) В условиях задачи найти Δ и доверительный интервал для доли ткачей на всем комбинате, чья производительность не более 75 метров, который можно гарантировать с вероятностью Р=0,778

Дано:

Используя формулу 19 и данные, полученные в предыдущей задаче:

(0,18; 0,28)

Замечание: Доверительный интервал имеет границы, которые являются случайными величинами.

Ответ: с вероятностью 0,778 можно утверждать , что доверительный интервал (0,18; 0,28) содержит генеральную долю ткачей, чья производительность не более 75 метров.

6) В условиях первоначальной задачи определить, сколько надо обследовать ткачей в случае повторной и бесповторной выборки, чтобы с вероятностью Р = 0,778 можно было гарантировать наибольшее отклонение Δ равное 0,05 для доли ткачей, чья производительность не более 75 метров. Ответ дать для случая:

а) когда есть предварительная выборка;

б) когда никаких предварительных данных нет;

Дано:

а) предварительная выборка:

1) повторная выборка:

Объем повторной выборки при оценке доли:

(22)

2) бесповторная выборка:

Ответ: нужно обследовать 105 ткачей для повторной выборки (100 для бесповторной) чтобы с вероятностью Р = 0,778 гарантировать Δ = 0,05 для доли ткачей, чья производительность не более 75 метров.

б) никаких предварительных данных нет (т.е. нет исходной таблицы)

Тогда рассмотрим формулу 22 как функцию переменной W:

и ищем при каких W достигается max этой функции. Можно доказать, что max достигается при w = 0,5. Тогда →

Объем выборки при оценке доли, если никаких предварительных данных нет:

(23)




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.