Определение неизвестных токов и ЭДС с помощью законов Кирхгофа
Согласно исходным данным составляем электрическую схему (Рис. 1). Произвольно выбираем направления токов в ветвях (кроме заданного направления тока I23).
Составляем уравнения по правилам Кирхгофа.
По первому закону составим число уравнений равное числу узлов в схеме без единицы, т. е.: 4-1 = 3 уравнения:
узел 1: I14+I13 = I21 +J21
узел 3: I34 +I23 = I13 узел 4: I24 = I14 +I34
По второму закону число уравнений равно числу ветвей схемы за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа и числу ветвей, содержащих источники токов, т.е. 7 – 4 + 1 - 1 = 3 (обход контуров производится по часовой стрелке):
Подставляя в полученную систему уравнений заданные значения токов, величины ЭДС, источника тока и сопротивлений, получаем систему алгебраических уравнений с шестью неизвестными:
I14 + I13-I21 = 0.9
I34 – I13 =- 0.6
I24 – I14 -I34 = 0
80*I13 +80*I21 – E23 = -44
- 80*I13 - 40*I34 + 80* I14 = 70
- 80*I21 – 80*I14 - 40*I24 = -110
Полученная система шести уравнений с шестью неизвестными имеет единственное решение. Для определения токов и ЭДС воспользуемся матричным методом решением системы алгебраических уравнений. Для этого представим данную систему в виде произведения матриц А*Х = В,решением которого будет уравнение Х = А-1*В. Результаты решения получаем используя табличный процессор EXCEL:
ИСХОДНЫЕ МАТРИЦЫ
I41
I13
I12
I24
I43
E23
-1
I41
0,9
-1
I13
-0,6
A =
-1
-1
X=
I12
B=
-1
I24
-44
-80
-40
I43
-80
-80
-40
E23
-110
Обратная матрица А
Результат
0,285714
-0,14286
0,003571
-0,003571429
0,9
0,9
I41
0,190476
-0,33333
-0,09524
-0,00595
-0,002380952
-0,6
0,216667
I13
-0,52381
-0,33333
-0,2381
-0,00238
-0,005952381
В=
0,216667
I12
0,47619
0,666667
0,761905
-0,00238
-0,005952381
-44
0,516667
I24
0,190476
0,666667
-0,09524
-0,00595
-0,002380952
-0,38333
I43
-26,6667
-53,3333
-26,6667
-1
-0,66667
-0,666666667
-110
78,66667
E23
Определение неизвестных токов и ЭДС методом контурных токов
Так как узлы 1 и 3 соединены двумя ветвями, прибегнем к замене этих ветвей одной эквивалентной, определив E31Э (Рис.2).
Е21Э = R21 *J +E21 =80*0,9 + 30 = 102В
Электрическая схема имеет следующий вид:
Для определения неизвестных величин методом контурных токов составляем основные уравнения для контуров:
R11*I11 - R13*I22 - R12*I33 = E11
-R13*I11 + R22*I22 – R14*I33 = E22
-R12*I11 – R14*I22 + R33*I33 = E33
Применительно к заданной электрической схеме система имеет следующий вид:
Подставим заданные значения сопротивлений, тока I11 = I23 и ЭДС, получим:
- 80*I22 – 80*I33 – E12 = - 68
200*I22 – 80*I33 = 118
-80*I22 + 200*I33 = -134
Аналогично предыдущему, используем матричный метод для решения этой системы:
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ
I22
I33
E23
-80
-80
-1
I22
-68
A =
-80
X=
I33
B=
-80
E23
-134
Результат
0,9
I41
0,216667
I13
Обратная матрица А
Результат
0,517
I23
0,005952
0,002381
-68
0,383333
I22
0,516667
I24
0,002381
0,005952
B=
-0,51667
I33
-0,38333
I43
-1
-0,66667
-0,66667
-134
78,66667
E23
78,66667
E23
Энергетический баланс электрической цепи
Баланс мощностей рассчитываем для схемы, изображенной на рис. 1, так как схема на рис. 3 не эквивалентна ей в отношении энергии.
Общий вид уравнения энергетического баланса:
ΣI2*R = ΣE*I + U31*J,
где U31 = φ2 – φ1 = E12 - I12*R12 = 12,667 В.
Расчет проведен в EXCEL:
Таким образом, баланс мощностей рассчитан верно.
Расчет тока в ветви 4-1
Поскольку требуется определить ток лишь в одной из ветвей, целесообразно применить метод эквивалентного источника. Для этого вся остальная по отношению к выделенной ветви 4-1 часть цепи, содержащая источники и являющаяся активным двухполюсником, заменяется одним эквивалентным источником с элементами Еэ и Rэ . Согласно этому методу ЭДС Еэ равна напряжению U41xцепи с отключенной ветвью 4-1, а сопротивление Rэ равно сопротивлению цепи без ветви 4-1 относительно зажимов 4,1. Тогда формула для определения тока в ветви имеет следующий вид:
где U41X =φ4 – φ1 .
Схема принимает вид
Для определения потенциалов точек 4 и 1 используем метод узловых потенциалов (φ2 = 0):
Подставляя числовые значения в полученную систему уравнений, получаем:
Решаем данную систему аналогично предыдущему в EXCEL:
0,63
-0,0125
-0,025
Φ3
3,32
А=
-0,0125
0,025
X=
Φ1
B=
-1,9
-0,025
0,05
φ4
Обратная матрица А
Результаты
1,635992
0,81799591
0,817996
3,877301
Φ3
0,817996
40,40899796
0,408998
-74,0613
Φ1
0,817996
0,408997955
20,409
1,93865
φ4
Находим напряжение холостого хода между узлами 1 и 4:
U14X = φ1 – φ4 =-74,0613 – 1,93865= -75,99 В.
Составляем схему для определения RЭ относительно зажимов 1 и 4
Преобразуем треугольник сопротивлений R24 = R23 = R34 = 40 Ом в звезду сопротивлений R4 = R2 = R3 = 40/3 Ом. Тогда эквивалентное сопротивление RЭ определяется по формуле:
Определяем ток в ветви 1-4:
, величина которого равна ранее рассчитанному току другими методами