РЕШЕНИЕ

Определение неизвестных токов и ЭДС с помощью законов Кирхгофа

Согласно исходным данным составляем электрическую схему (Рис. 1). Произвольно выбираем направления токов в ветвях (кроме заданного направления тока I₂₃).

Составляем уравнения по правилам Кирхгофа.

По первому закону составим число уравнений равное числу узлов в схеме без единицы, т. е.: 4-1 = 3 уравнения:

узел 1: I₁₄₊I₁₃ = I₂₁ +J₂₁

узел 3: I₃₄ +I₂₃ = I₁₃
узел 4: I₂₄ = I₁₄ +I₃₄

По второму закону число уравнений равно числу ветвей схемы за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа и числу ветвей, содержащих источники токов, т.е. 7 – 4 + 1 - 1 = 3 (обход контуров производится по часовой стрелке):

I₂₃ * R₂₃+ I₁₃* R₁₃ + I₂₁* R₂₁ = E₂₃ –E₁₃ + E₂₁

- I₁₃ * R₁₃ - I₃₄ * R₃₄ + I₁₄ * R₁₄ = E₁₃ – E₄₃ + E₁₄

- I₂₁ * R₂₁ – I₁₄ * R₁₄ – I₂₄ * R₂₄ = - E₂₁ - E₁₄ - E₂₄

Объединим полученные системы в одну:

I₁₄₊I₁₃ = I₂₁ +J₂₁
I₃₄ +I₂₃ = I₁₃
I₂₄ = I₁₄ +I₃₄

I₂₃ * R₂₃+ I₁₃* R₁₃ + I₂₁* R₂₁ = E₂₃ –E₁₃ + E₂₁

-I₁₃ * R₁₃ - I₃₄ * R₃₄ + I₁₄ * R₁₄ = E₁₃ – E₄₃ + E₁₄

-I₂₁ * R₂₁ – I₁₄ * R₁₄ – I₂₄ * R₂₄ = - E₂₁ - E₁₄ - E₂₄

Подставляя в полученную систему уравнений заданные значения токов, величины ЭДС, источника тока и сопротивлений, получаем систему алгебраических уравнений с шестью неизвестными:

I₁₄ + I₁₃-I₂₁ = 0.9

I₃₄ – I₁₃ =- 0.6

I₂₄ – I₁₄ -I₃₄ = 0

80*I₁₃ +80*I₂₁ – E₂₃ = -44

- 80*I₁₃ - 40*I₃₄ + 80* I₁₄ = 70

- 80*I₂₁ – 80*I₁₄ - 40*I₂₄ = -110

Полученная система шести уравнений с шестью неизвестными имеет единственное решение. Для определения токов и ЭДС воспользуемся матричным методом решением системы алгебраических уравнений. Для этого представим данную систему в виде произведения матриц А*Х = В,решением которого будет уравнение Х = А^-1*В. Результаты решения получаем используя табличный процессор EXCEL:

Определение неизвестных токов и ЭДС методом контурных токов

Так как узлы 1 и 3 соединены двумя ветвями, прибегнем к замене этих ветвей одной эквивалентной, определив E_31Э (Рис.2).

Е_21Э = R₂₁ *J +E₂₁ =80*0,9 + 30 = 102В

Электрическая схема имеет следующий вид:

Для определения неизвестных величин методом контурных токов составляем основные уравнения для контуров:

R₁₁*I₁₁ - R₁₃*I₂₂ - R₁₂*I₃₃ = E₁₁

-R₁₃*I₁₁ + R₂₂*I₂₂ – R₁₄*I₃₃ = E₂₂

-R₁₂*I₁₁ – R₁₄*I₂₂ + R₃₃*I₃₃ = E₃₃

Применительно к заданной электрической схеме система имеет следующий вид:

(R₂₃ + R₂₁ + R₃₁)*I₁₁ – R₁₃*I₂₂ – R₁₂*I₃₃ = E₂₃ – E₁₃ + E_21Э

- R₁₃*I₁₁ + (R₁₃ + R₁₄ + R₃₄)*I₂₂ – R₁₄* I₃₃ = E₁₃ – E₄₃ + E₁₄

- R₁₂*I₁₁ – R₁₄*I₂₂ + (R₂₁ + R₂₄ + R₁₄)*I₃₃ = -E_21Э – E₁₄ - E₂₄

Подставим заданные значения сопротивлений, тока I₁₁ = I₂₃ и ЭДС, получим:

- 80*I₂₂ – 80*I₃₃ – E₁₂ = - 68

200*I₂₂ – 80*I₃₃ = 118

-80*I₂₂ + 200*I₃₃ = -134

Аналогично предыдущему, используем матричный метод для решения этой системы:

Энергетический баланс электрической цепи

Баланс мощностей рассчитываем для схемы, изображенной на рис. 1, так как схема на рис. 3 не эквивалентна ей в отношении энергии.

Общий вид уравнения энергетического баланса:

ΣI²*R = ΣE*I + U₃₁*J,

где U₃₁ = φ₂ – φ₁ = E₁₂ - I₁₂*R₁₂ = 12,667 В.

Расчет проведен в EXCEL:

Таким образом, баланс мощностей рассчитан верно.

Расчет тока в ветви 4-1

Поскольку требуется определить ток лишь в одной из ветвей, целесообразно применить метод эквивалентного источника. Для этого вся остальная по отношению к выделенной ветви 4-1 часть цепи, содержащая источники и являющаяся активным двухполюсником, заменяется одним эквивалентным источником с элементами Е_э и R_э . Согласно этому методу ЭДС Е_э равна напряжению U_41x цепи с отключенной ветвью 4-1, а сопротивление R_э равно сопротивлению цепи без ветви 4-1 относительно зажимов 4,1. Тогда формула для определения тока в ветви имеет следующий вид:

где U_41X =φ₄ – φ₁ .

Схема принимает вид

Для определения потенциалов точек 4 и 1 используем метод узловых потенциалов (φ₂ = 0):

Подставляя числовые значения в полученную систему уравнений, получаем:

Решаем данную систему аналогично предыдущему в EXCEL:

Находим напряжение холостого хода между узлами 1 и 4:

U_14X = φ₁ – φ₄ =-74,0613 – 1,93865= -75,99 В.

Составляем схему для определения R_Э относительно зажимов 1 и 4

Преобразуем треугольник сопротивлений R₂₄ = R₂₃ = R₃₄ = 40 Ом в звезду сопротивлений R₄ = R₂ = R₃ = 40/3 Ом. Тогда эквивалентное сопротивление R_Э определяется по формуле:

Определяем ток в ветви 1-4:

, величина которого равна ранее рассчитанному току другими методами