Мои Конспекты
Главная | Обратная связь

...

Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Базисные состояния и координаты





Помощь в ✍️ написании работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Существует множество специальных приемов, позволяющих упрощать проведение вычислений с амплитудами вероятности. Совокупность этих приемов составляет математический аппарат квантовой механики. Этот аппарат основан на использовании ряда математических понятий, правильное применение которых требует предварительного анализа их содержания и смысла.

ВЕКТОР СОСТОЯНИЯ

Центральное место в математическом аппарате КМ занимает понятие "вектор состояния". Для его анализа используем мысленный эксперимент. Приготовим устройство, включающий источник и детектор, между которыми расположен экран (произвольной формы) с множеством микроскопических отверстий.

Интересующее нас событие SD может осуществиться несколькими альтернативными способами. Каждый из них представляет собой последовательность двух элементарных событий. Правило расчета глобальной амплитуды в такой ситуации известно:

АSD = á D | S ñ = á D | 1ñ × á 1 | S ñ + á D | 2 ñ × á 2 | S ñ + . . . . =

= å á D | i ñ × á i| S ñ = å ( Di × Si )

Из этой формулы видно, что амплитуда АSD получается в результате комбинирования двух групп комплексных чисел:

· числа типа Si= á i | S ñ, каждое из которых характеризует одно из отверстий экрана по отношению к источнику, а именно представляет собой амплитуду попадания частицы из источника S в данное отверстие с номером i;

· числа типа Di = á D | i ñ, каждое из которых характеризует одно из отверстий экрана по отношению к детектору, а именно: представляет собой амплитуду попадания частицы из отверстия с номером iв детекторD.

Наборы чисел {Si} и {Di} можно рассматривать лишь как необходимые компоненты для вычисления глобальной амплитуды, но можно приписать им определенный смысл и самим по себе, поскольку эти два набора в определенном отношении независимы друг от друга.

Если в рассмотренной выше экспериментальной установке переместить источник в другую точку пространства то изменятся все расстояния от источника до отверстий экрана, а, следовательно, изменятся и все амплитуды типа Si = á i | S ñ. При этом, однако, все амплитуды второго типа Di = á D | i ñ, останутся теми же самыми, поскольку положение детектора относительно экрана не изменилось. Аналогичную процедуру можно проделать и с детектором, оставив источник в прежнем положении. При этом все числа типаDi = á D | i ñ изменятся, но числа Si = á i | S ñ, связанные с источником, останутся неизменными.

Отсюда следует важный вывод:

· числа Si = á i | S ñхарактеризуют состояние частиц, приготавливаемых источником — начальное состояние | Sñ,

· числа Di = á D | i ñ характеризуют состояние частиц в месте расположения детектора — конечное состояние á D | .

Подчеркнем, что начальное и конечное состояния частиц характеризуются не в универсальном смысле, а лишь некоторым конкретным способом — с точки зрения прибора, расположенного между источником и детектором (в данном случае — экран с отверстиями). Достаточно очевидно, что при использовании другого прибора мы получим аналогичное описание обеих состояний (начального и конечного), но наборы чисел {Si} и {Di}, будут другими.

Такое описание состояния микрообъектов посредством набора чисел-амплитуд и называется "вектором состояния". Происхождение такого названия обусловлено аналогией между рассмотренными выше наборами чисел-амплитуд и обычными математическими векторами. Рассмотрим для примера вектор на плоскости. Для его описания удобно использовать систему координатных осей, например, декартовых:

Каждая декартова ось порождается некоторым специальным базисным вектором, имеющим заданное направление и единичную длину. Для анализа произвольного вектора R нужно сначала спроектировать его на координатные оси и найти две проекции: Rxи Ry, сумма которых и дает вектор R:

R = Rx + Ry

Второй этап анализа заключается в том, что проекции вектора сравнивают по длине с соответствующими базисными векторами, длина которых принимается за единицу. Это приводит к представлению вектора в виде линейной комбинации базисных векторов:

R = Rx + Ry=x ×i +y ×j

Пользуясь одним и тем же набором базисных векторов (системой координат), мы можем проанализировать подобным образом любой вектор. При этом все описания будут выглядеть однотипно, отличаясь только набором чисел (x, y), которые называются координатами вектора в выбранном базисе (i,j). Поэтому в рамках заданной координатной системы не только каждый вектор можно охарактеризовать набором чисел-координат: R = (x,y), и наоборот, каждый такой набор чисел можно рассматривать как вектор(x,y) = R. Отсюда и вытекает интерпретация наборов чисел-амплитуд как векторов:

• вектор начального состояния |Sñ = (S1, S2, ... )

• вектор конечного состояния áD|= (D1, D2, ... )

Рассмотренная аналогия между математическими векторами и векторами состояния простирается очень далеко. Так, для математических векторов определена специальная операция — "скалярное умножение". Она выполняется следующим образом. Один из векторов-сомножителей записывают в виде вектора-строки, а второй — в виде вектора-столбца, затем попарно перемножают координаты с одинаковыми номерами, а полученные произведения складывают:

Результатом скалярного умножения двух векторов является единственное число Z (скаляр), называемое скалярным произведением векторов А и В. Легко заметить полное сходство между конструкцией скалярного произведения и схемой вычисления амплитуды через векторы начального и конечного состояний:

АSD = á D | S ñ = á D | 1ñ × á 1 | S ñ + á D | 2 ñ × á 2 | S ñ + . . . . =

= å á D | i ñ × á i| S ñ = å ( Di × Si )

Отсюда можно заключить:

глобальная амплитуда некоторого события (квантового перехода) всегда может быть представлена в виде скалярного произведения двух векторов, изображающих начальное и конечное состояния.

Символ, введенный выше для обозначения амплитуды á D | S ñ можно рассматривать как "произведение" двух символов, изображающих отдельные векторы-сомножители:á D|Sñ= á D | × | S ñ.При этом очевидно, что первый сомножитель эквивалентен вектору-строке, а второй — вектору-столбцу. Существует общепринятое соглашение:

• векторы начальных состояний всегда следует рассматривать как векторы-столбцы и обозначать их правой угловой скобкой | S ñ ("кет-вектор");

• векторы конечных состояний всегда следует рассматривать как векторы-строки и обозначать их левой угловой скобкой á D |("бра-вектор");

• cкалярное произведение двух векторов состояния всегда должно выглядеть как полная угловая скобка á D | S ñ ("бра-кет" — от английского bracket — скобка).

Таким образом, можно сделать несколько промежуточных выводов:

1) Любое квантово-механическое состояние можно изобразить с помощью математического объекта — вектора состояния.

2) Любой КМ-вектор состояния можно проанализировать особым способом — представить в виде линейной комбинации некоторых базисных векторов, и описать набором чисел-координат.

3) Любое КМ-событие можно представить в виде перехода из одного состояния в другое, причем амплитуда этого события может быть вычислена как скалярное произведение соответствующих векторов состояния.

Базисные состояния и координаты

Координатное представление любого вектора (R) сводится к его изображению посредством линейной комбинации (ЛК) базисных векторов (e1, e2, ... , en):

R= R1 × e1 + R2 × e2 + ... + Rn × en .

Для этой конструкции употребляются также названия "суперпозиция базисных векторов" и "разложение по базису".

Координаты вектора (R1, R2, ... , Rn) в заданном базисе показывают количественный вклад каждого базисного вектора в суммарный вектор. Поскольку при этом свойства базисных векторов предполагаются точно известными, знание координат позволяет предсказывать свойства вектора R без проведения какого-либо специального исследования этих свойств.

При координатном представлении вектора состояния используется точно такой же прием:

• любой кет-вектор может быть представлен в виде ЛК базисных кет-векторов

| S ñ = | 1 ñ × S1 + | 2 ñ × S2 + . . . = å | i ñ × Si

• любой бра-вектор может быть представлен в виде ЛК базисных бра-векторов

á D | = D1 × á 1 | + D2 × á 2 | + . . . = å Di × á i |

В качестве координат векторов состояния выступают амплитуды некоторых событий, а именно:

• каждое число типа Si = á i | S ñ представляет собой амплитуду перехода частицы из начального состояния | S ñ в базисное состояние прибора-анализатора с номером i;

• каждое число типа Di = á D | i ñ представляет собой амплитуду перехода частицы из базисного состояния прибора-анализатора с номером i в конечное состояние á D |.

При таком подходе бра- и кет-векторы, а также их координаты кажутся принципиально различными по смыслу, но эта разница не абсолютна. Одно и то же состояние R можно рассматривать и как начальное — | R ñ, и как конечное — á R |. Точка зрения на состояние зависит от способа его анализа. Например, можно представить себе две экспериментальные ситуации, "устроенные" одинаково в пространственном отношении, но отличающиеся направлением движения частиц. Состояния, обозначаемые буквами Sи D, выступают здесь и как начальные, и как конечные.

 

Перейти от ситуации (1) к ситуации (2) можно простым обращением знака пространственной (x) или временной (t) координаты, характеризующих перемещение частиц. При этом фаза каждой амплитуды изменит знак на противоположный:

q = kx = wt Þ – q = –kx = –wt

Следовательно, координаты вектора состояния, соответствующие этим двум ситуациям, будут отличаться только одним — комплексным сопряжением. Например, для состояния S будем иметь:

Ситуация 1: | S ñ = | 1 ñ × S1 + | 2 ñ × S2 + . . . = å | i ñ × Si

á D | = D1 × á 1 | + D2 × á 2 | + . . . = å Di × á i |

Ситуация 2: á S | = S1* × á 1 | + S2*× á 2 | + . . . = å Si*× á i |

| D ñ = | 1 ñ × D1* + | 2 ñ × D2* + . . . = å | i ñ × Si*

Таким образом, любое состояние достаточно проанализировать только одним из возможных способов. Если мы знаем, как выглядит бра-вектор некоторого состояния, то мы автоматически знаем, как выглядит и его кет-вектор, и наоборот. Для перехода от бра-вектора к кет-вектору и обратно достаточно поменять все знаки в фазах амплитуд-координат. Для такой операции, включающей одновременное преобразование типа вектора (строка « столбец) и комплексное сопряжение его координат, применяют термин "эрмитово сопряжение" или просто "сопряжение" (обозначается значком + ). Таким образом, для любого состояния можно записать:

| S ñ = á S |+ и á S | = | S ñ+

| D ñ = á D |+ и á D | = | D ñ+

Отсюда можно заключить, что целесообразно использовать какую-то одну универсальную методику анализа векторов любых состояний. В основе такой методики лежит использование спектральных анализаторов.

Доверь свою работу ✍️ кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.