Формула полной вероятности

Теорема 2.5. Если событие наступает только при условии появления одного из событий , образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события :

При этом события называются гипотезами, а вероятности — априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Формула Байеса

Эта формула применяется при решении практических задач, когда событие , появляющееся совместно с каким-либо из событий , образующих полную группу событий, произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез . Априорные (до опыта) вероятности известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т. е., по существу, нужно найти условные вероятности . Для гипотезы формула Байеса выглядит так:

Раскрывая в этом равенстве по формуле полной вероятности (2.1), получаем

7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть событие А может произойти в результате осуществления одного

события из некоторой полной группы событий:

События этой группы обычно называют гипотезами.

Тогда

(формула полной вероятности), причем

формула Байеса.Пусть — полная группа событий, и — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие , может быть вычислена по формуле:

Одним из основных в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайная величина - это величина, принимающая те или иные значения в зависимости от случая. Примерами случайных величин могут быть: число выпавших очков, при подбрасывании игральной кости; число попаданий в цель при k выстрелах и т.д. Множества всех случайных величин в зависимости от типа их распределения делится на три класса: дискретные случайные величины, непрерывные случайные величины исингулярные случайные величины. В этой статье мы рассмотрим первые два класса:дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины. Дискретные случайные величины Определение1: Случайная величина называется дискретной случайной величиной, если она принимает не более чем счетное число значений. Задание дискретной случайной величины по определению равносильно заданию закона распределения случайной величины в следующем виде: где Следующее утверждение отражает связь между функцией распределения дискретной случайной величины и законом распределения случайной величины. Утверждение 1: Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины взаимно однозначно определяют друг друга. Примеры дискретных случайных величин: 1) дискретная случайная величина Бернулли(закон распределения Бернулли). Закон распределения дискретной случайной величины Бернулли имеет следующий вид: 0<p<1 Такому распределению соответствует бросание монеты, на одной стороне которой - 0, а на второй - 1. 2) дискретная биномиальная случайная величина(биномиальное распределение). Закон распределения данной дискретной случайной величины запишется следующим образом: где Число успехов в n испытаниях схемы Бернулли имеет биномиальное распределение. 3) дискретная случайная величина Пуассона(пуассоновское распределение с параметром ). Закон распределения дискретной случайной величины Пуассона задается следующим образом: где - параметр. Закон распределения случайной величины Пуассона носит название закона редких событий, поскольку оно всегда появляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит "редкое" событие. По закону Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших на телефонную станцию, число распавшихся нестабильных частиц и т.д. 4) дискретная геометрическая случайная величина (геометрическое распределение). Закон распределения геометрической дискретной случайной величины имеет вид Пусть производятся независимые испытания, причем в каждом испытании возможны два исхода - "успех" с вероятностью p или "неуспех" с вероятностью 1 - p , 0 < p < 1 . Обозначим через число испытаний до первого появления "успеха", тогда будет дискретной геометрической случайной величиной. Непрерывные случайные величины Определение 2: Распределение случайной величины называется непрерывным, а сама случайная величина - непрерывной случайной величиной, если для любого , где - интегрируемая по Лебегу функция. Функция называется плотностью распределения случайной величины . Теорема 1: Для того чтобы случайная величина была непрерывной случайной величиной, необходимо и достаточно, чтобы для любого (1) Замечание 1: Из представления (1) видно, что функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной функцией. Свойства плотности распределения: 1) 2) почти всюду. 3) для любых х, являющихся точками непрерывности плотности. Теорема 2: Для того, чтобы функция p = p(x) была плотностью распределения некоторой случайной величины , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла свойствам 1) и 2) плотности. Примеры непрерывных случайных величин: 1) нормальная непрерывная случайная величина, или непрерывная случайная величина Гаусса(нормальное распределение). Непрерывная случайная величина имеет нормальное (гауссовское) распределение, если её плотность распределения имеет вид Если , то распределение называется стандартным нормальным распределением. Важная роль этого распределения объясняется тем, что оно обычно возникает в явлениях, подверженных действию большого числа малых случайных величин. Так, математическая теория выборочного метода в статистике для расчета некоторых показателей широко использует нормальное распределение. 2)экспоненциальная (показательная) непрерывная случайная величина(экспоненциальное распределение). Непрерывная случайная величина имеет экспоненциальное(показательное) распределение с параметром , если её плотность имеет вид Экспоненциальному распределению подчиняется время распада ядер атомов различных элементов. Оно обладает важным свойством - отсутствием последствия. Несложно убедиться в том, что вероятность распада ядра за время при условии, что перед этим оно уже прожило время , совпадает с безусловной вероятностью распада того же самого ядра за время . Именно это свойство и представляет собой отсутствие последствия. 3) Равномерная на [a;b] непрерывная случайная величина(равномерное на отрезке [a;b] распределение). Равномерно распределенная на отрезке [a;b] непрерывная случайная величина имеет плотность распределения Равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a;b].

9. Операции над случайными величинами.

Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий (в одном и том же испытании).
Сумма А₁ + А₂ + … + А_n обозначается так:
или .
Пример. Бросаются две игральные кости. Пусть событие А состоит в выпадении 4 очков на 1 кости, а событие В – в выпадении 5 очков на другой кости. События А и В совместны. Поэтому событие А +В состоит в выпадении 4 очков на первой кости, или 5 очков на второй кости, или 4 очков на первой кости и 5 очков на второй одновременно.
Пример. СобытиеА – выигрыш по 1 займу, событие В – выигрыш по 2 займу. Тогда событие А+В – выигрыш хотя бы по одному займу (возможно по двум сразу).
Произведением или пересечением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий (в одном и том же испытании).
Произведение В событий А₁, А₂, …, А_n обозначается так:
.
Пример. События А и В состоят в успешном прохождении I и II туров соответственно при поступлении в институт. Тогда событие А×В состоит в успешном прохождении обоих туров.
Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть событие А есть попадание точки в область А, а событие В – попадание точки в область В. Тогда событие А+В есть попадание точки в объединение этих областей (рис. 2.1), а событие АВ есть попадание точки в пересечение этих областей (рис. 2.2).

Рис. 2.1 Рис. 2.2
Теорема. Если события A_i(i = 1, 2, …, n) попарно несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:
.
Пусть А и Ā – противоположные события, т.е. А + Ā = Ω, где Ω – достоверное событие. Из теоремы сложения вытекает, что
Р(Ω) = Р(А) + Р(Ā) = 1, поэтому
Р(Ā) = 1 – Р(А).
Если события А₁ и А₂ совместны, то вероятность суммы двух совместных событий равна:
Р(А₁ + А₂) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁×А₂).
Теоремы сложения вероятностей позволяют перейти от непосредственного подсчета вероятностей к определению вероятностей наступления сложных событий.

10. Ряд распределения случайной величины. Многоугольник распределения вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины.

Достаточно часто на практике рассматриваются такие испытания, в результате реализации которых случайным образом получается некоторое число. Например, при бросании игрального кубика выпадает число очков от 1 до 6, при взятии 6 карт из колоды можно получить от 0 до 4 тузов. За определенный промежуток времени (скажем, день или месяц) в городе регистрируется то или иное количество преступлений, происходит какое-то количество дорожно-транспортных происшествий. Из орудия производится выстрел. Дальность полета снаряда также принимает какое-либо значение случайным образом.

Во всех перечисленных испытаниях мы сталкиваемся с так называемыми случайными величинами.

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называетсяслучайной величиной.

Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей изучала главным образом случайные события, то современная теория вероятностей преимущественно имеет дело со случайными величинами.

Далее будем обозначать случайные величины прописными латинскими буквами X, Y, Z и т.д., а их возможные значения – соответствующими строчными x, y, z. Например, если случайная величина имеет три возможных значения, то будем обозначать их так: , , .

Итак, примерами случайных величин могут быть:

1) количество очков, выпавших на верхней грани игрального кубика:

2) число тузов, при взятии из колоды 6 карт;

3) количество зарегистрированных преступлений за день или месяц;

4) число попаданий в мишень при четырех выстрелов из пистолета;

5) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия;

6) рост случайно взятого человека.

Можно заметить, что в первом примере случайная величина может принять одно из шести возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Во втором и четвертом примерах число возможных значений случайной величины пять: 0, 1, 2, 3, 4. В третьем примере значением случайной величины может быть любое (теоретически) натуральное число или 0. В пятом и шестом примерах случайная величина может принимать любое действительное значение из определенного промежутка (а, b).

Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной(дискретно распределенной).

Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Для задания случайной величины недостаточно перечислить ее всевозможные значения. Например, во втором и в третьем примерах случайные величины могли принимать одни и те же значения: 0, 1, 2, 3 и 4. Однако вероятности, с которыми эти случайные величины принимают свои значения, будут совершенно разными. Поэтому для задания дискретной случайной величины кроме перечня ее всех возможных значений нужно еще указать их вероятности.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называютзаконом распределениядискретной случайной величины.

Закон распределения можно задать в виде таблицы, формулы или графически.

При табличном задании закона распределения в первой строке таблицы записываются возможные значения случайной величины, а во второй – соответствующие значениям вероятности:

X			…
p			…

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины X.

Так как случайная величина в результате испытания примет одно и только одно значение, то события: Х= , Х= , …, Х= образуют полную группу. Следовательно, из следствия 1 теоремы сложения вероятностей сумма вероятностей этих событий равна единице:

+ +…+ = =1.

Для наглядности ряд распределения случайной величины можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат по оси абсцисс ОХ будем откладывать значения случайной величины , k=1, 2, …, n, а по оси ординат OY – соответствующие им вероятности . Полученные точки соединяются отрезками прямых. Построенная таким образом фигура называется многоугольником распределения(рис.6.1).

Рис. 6.1

Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Он является одним из форм закона распределения.

Пример 6.1. Случайным образом бросается монета. Построить ряд и многоугольник распределения числа выпавших гербов.

Случайная величина, равная количеству выпавших гербов, может принимать два значения: 0 и 1. Значение 1 соответствует событию - выпадение герба, значение 0 – выпадению решки. Вероятности выпадения герба и выпадения решки одинаковы и равны . Т.е. вероятности, с которыми случайная величина принимает значения 0 и 1, равны . Ряд распределения имеет вид:

X
p

Многоугольник распределения изображен на рис.6.2.

Рис. 6.2

Пример 6.2.Построить ряд распределения числа очков, выпавших при броске кубика.

Случайная величина Х принимает следующие значения: Х=1, 2, 3, 4, 5, 6, соответствующие выпадениям «единицы», «двойки», «тройки», «четверки», «пятерки», «шестерки» на верхней грани кубика. Так как все эти события равновозможны, то соответствующие значениям случайной величины вероятности равны . Значит, ряд распределения запишется в таком виде:

X
p

Поиск по сайту: