Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Геометрическое распределение



Пример 6.5. Стрелком производятся выстрелы по мишени до первого попадания. Вероятность попадания в каждом выстреле равнаp=0,6. Построить ряд распределения количества произведенных выстрелов.

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число произведенных выстрелов до первого попадания. Возможными значениями Х являются натуральные числа =1, =2, =3, …. Множество значений Х является бесконечным счетным множеством, как и ряд натуральных чисел.

Вероятность того, что случайная величина принимает значение =1, т.е. попадание происходит при 1-м выстреле, по условию задачи равна =p=0,6. Вероятность принятия случайной величиной значения =2 (попадание происходит при 2-м выстреле) подсчитывается как вероятность сложного события по теореме умножения вероятностей. Непопадание в мишень в первом выстреле и попадание во втором – события независимые. Поэтому =(1–pp=(1–0,6)×0,6=0,4×0,6=0,24. Аналогичным образом находятся вероятность значения случайной величины =3: =(1–p) ×(1–pp=(1–0,6)× (1–0,6)×0,6=0,4×0,4×0,6=0,096, вероятность = ×0,6= ×0,6=0,0384, = ×0,6= ×0,6=0,01536 и т.д.

Подсчитаем вероятность того, что случайная величина принимает значение =k. Это означает, что попадание произошло лишь в k-м выстреле, а до этого был k-1 промах. Так как все выстрелы независимы друг от друга, то по теореме умножения вероятностей = .

Таким образом, ряд распределения случайной величины запишется так:

X k
p 0,6 0,24 0,096 0,0384 0,01536

 

Многоугольник распределения случайной величины построен на рис.6.4 до значения =5 (множество значений дискретной случайной величины – бесконечное)

Рис. 6.4

 

Можно заметить, что ряд вероятностей, соответствующих значениям случайной величины, образует бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=0,4 и первым членом p=0,6:

0,6; 0,6×0,4; 0,6× ; 0,6× ; 0,6× ; … .

Поэтому распределение случайной величины в примере (6.5) называют геометрическим.

Геометрическимназывается распределение вероятностей случайной величины Х, которое определяется следующим законом:

, k³1.

Здесь p – вероятность наступления события А, q - вероятность того, что событие А не произойдет: q=1–p. Случайная величина Х определяется как число независимых испытаний, которые нужно произвести до первого появления события А.

Очевидно, что возможными значениями Х является множество натуральных чисел xÎN. То, что случайная величина принимает значение =k, означает, что в первых k-1 испытаниях А не наступило, а в k-м появилось. Вероятность этого подсчитывается по теореме умножения вероятностей для независимых событий: = . Сумма вероятностей всех значений определяется по формуле суммы членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q и первым членом p:

+ +…+ +…= = = =1.

 

11. Коэффициент асимметрии и эксцесс.

 

Выборочным коэффициентом асимметрии называется число , определяемое формулой
.
Выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии полигона (см. далее) вариационного ряда. Если полигон асимметричен, то одна из ветвей его, начиная с вершины, имеет более пологий «спуск», чем другая.
В случае отрицательного коэффициента асимметрии более пологий «спуск» полигона наблюдается слева, в противном случае – справа. В первом случае асимметрию называют левосторонней, а во втором – правосторонней.
Выборочным эксцессом или коэффициентом крутизны называется число E˜k, определяемое формулой
.
Выборочный эксцесс служит для сравнения на «крутость» выборочного распределения с нормальным распределением. Ранее подчеркивалось, что эксцесс для случайной величины, распределенной нормально, равен нулю. Поэтому за стандартное значение выборочного эксцесса принимают E˜k = 0. Если выборочному распределению соответствует отрицательный эксцесс, то соответствующий полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой. В случае положительного эксцесса полигон более крутой по сравнению с нормальной кривой.

Равномерным распределением называют такое распределение случайной величины, когда она с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в заданных пределах.

Равномерное распределение случайной величины показано на рис. 1

Рис. 1. Плотность вероятности (дифференциальная функция) равномерного распределения

Очевидно, что площадь под графиком этой функции равна единице и . Поэтому является плотностью распределения.

 

Плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:

где а и Ь - параметры закона, определяющие пределы изменения случайной величины X.

Непрерывная функция распределения в этом случае имеет вид:

 

Математическое ожидание и дисперсия случайной непрерывной величины X вычисляется следующим образом:

 

M(X)= a+b  
 

 

 

D(X)= (b-a)^2  
 

 

 

откуда сразу же следует, что среднее квадратическое отклонение:

 

 

Найдем теперь вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал (a,b), принадлежащий целиком отрезку [a, b]:

 

Геометрически эта вероятность представляет собой площадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.

Пример1. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке. Будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

Решение:

СВ- время ожидания автобуса имеет равномерное распределение. Тогда искомая вероятность будет равна:

Пример2. Ребро куба х измерено приближенно. Причем

Рассматривая ребро куба как случайную величину, распределенную равномерно в интервале (a, b), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

Решение:

Объем куба- случайная величина, определяемая выражением У= Х3. Тогда математическое ожидание равно:

Дисперсия:

 

13.Распределения связанные с нормальным распределением: распределение Пирсона, Стьюдента, Фишера.

 

«Хи-квадрат» распределение Пирсона с f степенями свободы, распределение вероятностей суммы квадратов c^2 = X1^2+...+Xf^2, независимых случайных величин X1,..., Xf, подчиняющихся нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Функция «Х.-к.» р. выражается интегралом

Первые три момента (математическое ожидание дисперсия и третий центральный момент) суммы c2 равны соответственно f, 2f, 8f. Сумма двух независимых случайных величин c1^2 и c2^2, с f^1 и f^2 степенями свободы подчиняется «Х.-к.» р. с f^1 + f^2 степенями свободы. Примерами «Х.-к.» р. могут служить распределения квадратов случайных величин, подчиняющихся Рэлея распределению и Максвелла распределению. В терминах «Х.-к.» р. с чётным числом степеней свободы выражается Пуассона распределение: Если количество слагаемых f суммы c2 неограниченно увеличивается, то согласно центральной предельной теореме распределение нормированного отношения сходится к стандартному нормальному распределению: где

Следствием этого факта является другое предельное соотношение, удобное для вычисления Ff (x) при больших значениях f:


Распределение Стьюдента - распределение получило свое название от псевдонима Student, которым английский ученый Госсет подписывал свои работы по статистике. Пусть -- независимые стандартные нормальные случайные величины. Распределением Стьюдента с степенями свободы называется распределениеследующей случайной величины: (46) Если вспомнить введенную формулой (44) случайную величину , то можно сказать, что отношение имеет распределение Стьюдента. Плотность этого распределения представляет собой симметричную функцию, задаваемую формулой По форме график функции напоминает график плотности стандартного нормального закона, но с более медленным убыванием ``хвостов''. При последовательность функций сходится к функции , которая есть плотность распределения . Чтобы понять, почему этот факт имеет место, следует обратить внимание на то, что по закону больших чисел знаменатель выражения (46) при стремится к

Теорема Фишера для нормальных выборокВ этом параграфе мы приводим теорему, впервые доказанную Р.А. Фишером в 1925 г. Она существенно облегчает статистический анализ независимых выборок из нормального распределения. Теорема Фишера. Пусть независимая выборка из распределения Тогда 1. выборочное среднее и выборочная дисперсия независимы;

2. имеет -распределение с степенью свободы.

 

Примечание: (1-p)=q это стандартное обозначение вероятности неудачи.

Определение

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей одной случайной величины принимающей целочисленные значения с вероятностями:

Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом называемым числом испытаний, и вещественным числом называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.

Основные свойства

Характеристическая функция:

Моменты:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Асимметрия: при распределение симметрично относительно центра

Пример

Пусть Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения не более чем на . Заметим, что значение очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.

Точная вероятность рассматриваемого события равна

Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):


Ошибка приближения равна .


Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:

Ошибка приближения равна — примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.

 

15. Показательное распределение.

 

Показательное распределение - распределение вероятностей на действительной прямой с плотностью вероятностей fξ (х), равной при х ≥ 0 показательной функции αe-αx, λ > 0 и при х < 0 — нулю. Вероятность того, что случайная величина X, имеющая П. р., примет значения, превосходящие некоторое произвольное число х, будет при этом равна eαx

Говорят, что имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром , и пишут: , если имеет следующую плотность распределения:

Функция распределения случайной величины непрерывна:

 

 




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.