Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Основные свойства средней арифметической



· Если индивидуальные значения признака (варианты), уменьшить (увеличить) в n раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится во столько же.

· Если все варианты осредняемого признака уменьшить (увеличить) на число А, то средняя арифметическая соответственно изменится на это же число.

· Если вес всех осредняемых вариантов уменьшить (увеличить) в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

· Сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна нулю.

Часто приходится вычислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности. Например, средняя рождаемость в стране представляет собой среднее из средних рождаемости по отдельным регионам страны. Средние из средних определяются так же, как и средние из первоначальных значений признака.

Пример. Рассмотрим среднюю месячную зарплату работников некоторого предприятия. Пусть, например, в фирме работает 20 человек, зарплата 19 из них составляет 10 000 рублей, а зарплата 10-го, руководителя, - 1 000 000 рублей. Тогда средняя зарплата одного работника на этой фирме будет равна . Хотя среднее и сохранило общую сумму заработной платы, но оно является в данном случае плохим обобщающим показателем: оно плохо характеризует зарплату одного работника на этой фирме. Причина этого кроется в том, что набор данных содержит выброс - 1 000 000 рублей. Среднее оказалось слишком большим для большинства работников и слишком малым для высокооплачиваемого руководителя.

Рассмотрим некоторые свойства среднего арифметического, которые позволяют упростить его вычисление и которые понадобятся при дальнейшем изучении математической статистики.

Свойство 1. Среднее арифметическое постоянной величины равно этой постоянной.

Пусть при исследовании признака x он n раз принимал одно и то же значение c. Тогда

Свойство 2. Если каждое значение признака Z равно сумме (разности) значений признаков X и Y, то среднее арифметическое признака Z равно сумме (разности) средних арифметических признаков X и Y.

Обозначим i-е варианты признаков X, Y, Z через xi, yi, zi. По условию xi + yi = zi. Тогда

Аналогично доказывается свойство и в случае разности.

Например, из этого свойства вытекает, что если контрольная работа по геометрии состоит из двух сюжетных задач, то среднее время, которое идет на выполнение контрольной работы, равно сумме средних времен, которые расходуются на выполнение первой и второй задач.

Свойство 3. Если ко всем вариантам прибавить одно и то же число, то и к среднему арифметическому будет прибавлено то же число.

Пусть - новые варианты, полученные после прибавления к каждой первоначальной варианте xi одного и того же числа c. Тогда

Рассмотренное свойство позволяет значительно упростить вычисление среднего арифметического без использования вычислительных средств, особенно тогда, когда варианты принимают большие значения.

Это свойство обосновывает произвольный выбор начала отсчета.

Свойство 4. Если все варианты умножить (разделить) на одно и то же число, то среднее арифметическое умножится (разделится) на то же число.

Пусть - новые варианты, полученные после умножения каждой первоначальной варианты xi на одно и то же число c. Тогда

На основании этого свойства можно изменять единицы, в которых выражаются данные.

Свойство 5. Если все частоты умножить (разделить) на одно и то же число, то среднее арифметическое не изменится.

Пусть - новые частоты, полученные после умножения каждой первоначальной частоты ni на одно и то же число c. Тогда

На основании этого свойства при вычислении среднего частоты можно заменять, например, относительными частотами.

Свойство 6. Сумма отклонений вариант от их среднего арифметического равна нулю.

Отклонение варианты xi от среднего арифметического равно разности . Тогда

Свойство 7. Сумма квадратов отклонений вариант от их среднего арифметического меньше суммы квадратов отклонений вариант от произвольного числа c на величину .

В самом деле,

Разность оказалась положительной (при ), поэтому сумма больше суммы .

Свойство 8. Среднее арифметическое, вычисленное по данным всех элементов совокупности, равно взвешенному среднему для так называемых частичных средних, т. е. средних, найденных для отдельных частей совокупности, причем частота для каждого частичного среднего равна количеству элементов в соответствующей части совокупности.

Пусть совокупность состоит из таких элементов:

x1, x2, ..., xk, y1, y2, ..., yl, z1, z2, ..., zm,

причем k + l +m = n.

Поскольку частичные средние соответственно равны

то общее среднее равно

Например, это свойство дает возможность упростить вычисление среднего арифметического результатов тестирования учащихся классов одной параллели нескольких школ. Для этого достаточно вычислить среднее арифметическое для каждого класса, а затем вычислить среднее этих частичных средних, приняв в качестве их частот количество учащихся в соответствующих классах.

Среднее арифметическое позволяет решать задачи, связанные с проверкой гипотез.

 

Выборочная дисперсия и выборочное средне квадратичное отклонение. Выборочная дисперсия и её свойства (с доказательством).

Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую, или исправленную, выборочные дисперсии.

 

 

Выборочной дисперсией значений случайной величины Х называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений этой величины от их среднего арифметического (обозначение ĎХ или ˜σх²):

ĎХ=Σ(хi -˜Х)²/n, где i=1,…,n.

Если данные наблюдений представлены в виде дискретного вариационного ряда, причем х1, х2, х3,…, хν – наблюдаемые варианты, а m1 , m2, , m3,…, , mν – соответствующие им частоты, то выборочная дисперсия определяется формулой:

ĎХ=Σ((хi -˜Х)² mi)/n, где i=1,…,n.

Где n=Σ mi – объем выборки.

Вычисленная по данной формуле дисперсия называется взвешенной выборочной дисперсией.

Выборочная дисперсия обладает одним существенным достатком: если среднее арифметическое выражается в тех единицах, что и значения случайной величины, то, как следует из формул, задающих дисперсию, последняя выражается уже в квадратных единицах. Этого недостатка можно избежать, взяв в качестве меры рассеивания арифметический квадратный корень из дисперсии.

Определение. Выборочным средним квадратическим отклонением называется арифметический квадратный корень из выборочной дисперсии (обозначение ˜σх).

Среднее квадратическое отклонение можно выразить следующей формулой:

˜σх=√ ĎХ

Рассмотрим основные свойства выборочной дисперсии, считая при этом, что наблюдаемые .данные представлены в виде дискретного вариационного ряда.

1°. Дисперсия постоянной величины равна нулю

2°. Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число С, то дисперсия и среднее квадратическое отклонение не изменятся

3°. Если все результаты наблюдений умножить на одно и то же число, то имеет место равенство Ď(СХ)=С²ĎХ

4°. Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то выборочные дисперсия и среднее квадратическое отклонение не изменятся.

5°. Выборочная дисперсия равна разности между средним арифметическим квадратов наблюдений над случайной величиной и квадратом ее среднего арифметического, т. е.

ĎХ=˜Х²-(˜Х)²

 

Выборочные моменты

Выборочные моменты в математической статистике — это оценка теоретических моментов распределения на основе выборки.

Определение

Пусть — выборка из распределения вероятности. Тогда

· Выборочный момент порядка — это случайная величина

· Центральный выборочный момент порядка — это случайная величина

,

где символ обозначает выборочное среднее.

 

 

Коэффициент асимметрии:

.

^ Показатель асимметрии Пирсона:

.

Таким образом, данное распределение имеет правостороннюю асимметрию, причем в крайних значениях признака асимметрия более значительная, чем в средней части распределения.

Центральный момент четвертого порядка:

.

^ Коэффициент эксцесса:

.

Таким образом, вершина данного распределения ниже вершины соответствующего теоретического нормального распределения.
^ 2 ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
2.1 Определение выборочного наблюдения
Выборочным наблюдением называют такое несплошное наблюдение, при котором характеристику всей совокупности единиц (генеральной совокупности) дают по некоторой части единиц (выборочной совокупности), отобранных в определенном порядке.

Выборочное наблюдение используется в связи с тем, что оно позволяет:

— экономить силы и средства, необходимые для статистического исследования;

— быстрее (оперативнее) получать результаты;

— проводить исследования в случаях, когда сплошное наблюдение невозможно (например, для определения качества предметов, связанного с физическим уничтожением образцов);

— уточнять результаты сплошного наблюдения (например, для проверки сплошной переписи населения организуют контрольные выборочные обследования).

Генеральная и выборочная совокупности характеризуются соответственно генеральными и выборочными показателями (средние величины, показатели доли, показатели вариации).

Возможные случайные отклонения между выборочными и генеральными показателями называют ошибкой выборки.

Выборочная совокупность формируется различными способами отбора. Применительно к способу отбора используют и свои методы расчета средней ошибки выборки.
^ 2.2 Способы отбора
1. Собственно случайный отбор – отбор на удачу (по жребию, лотерее). Случайный отбор может быть повторный и бесповторный. В экономических исследованиях повторный отбор практически не применяется. Важнейшее правило случайного отбора – каждой единице генеральной совокупности должна обеспечиваться равная вероятность быть отобранной.

2. Механический отбор (порядковый).

Например, генеральная совокупность составляет 600 единиц (т.е. N=600), из которых нужно отобрать выборочную совокупность, состоящую из 50 единиц (т.е. n=50). Единицам генеральной совокупности присваиваются порядковые номера от 1 до 600. Находится интервал отбора: 600/50=12. Из первых 12-ти единиц отбирают единицу случайным отбором. Допустим, что первой оказалась единица под номером 7. Далее с интервалом 12 в выборку будут отобраны единицы под номерами 19, 31, 43 и т.д.

3. Серийный (гнездовой) отбор.

Допустим, генеральная совокупность из 500 единиц разделяется на 100 серий по 5 единиц в серии. В выборку нужно отобрать 50 единиц, т.е. 10 серий. Тогда каждая серия отбирается в выборку собственно случайным бесповторным отбором.

4. Типический (расслоенный) отбор.

При этом отборе генеральная совокупность делится на группы по какому-либо признаку. Затем пропорционально доли каждой группы в генеральной совокупности отбирают единицы из групп в выборочную совокупность в случайном порядке.

5. Комбинированный отбор предполагает использование нескольких способов отбора в их комбинации.
^ 2.3 Статистическая оценка
Статистическая оценка – приближенное значение искомой величины по результатам выборочного наблюдения.

Например, выборочная средняя является оценкой генеральной средней. Различают понятия точечной и интервальной оценки.

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

^ Несмещенной оценкой генеральной средней служит выборочная средняя.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

,

где – выборочная дисперсия,

– число единиц выборочной совокупности.

Интервальнойназывают оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительнымназывают интервал, который с заданной надежностью (вероятностью) покрывает оцениваемый параметр.

Обозначим:

– генеральная средняя,

– выборочная средняя,

– предельная ошибка выборочной средней для заданной доверительно вероятности .

Тогда интервальная оценка генеральной средней примет вид:




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.