Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Вычисление полной энергии КЭ



Разделение пластины на КЭ должно удовлетворять двум тождествам:

и . (4.11)

Однако если КЭ не примыкает к границе области , то для таких КЭ граница Гj может быть вырожденной. Из тождеств (4.11) следует, что полная энергия пластины может быть представлена суммой по всем КЭ:

. (4.12)

Здесь введено обозначение:

.

Отметим, что степени свободы деформирования j-го КЭ – это перемещения узловых точек. Из таблицы КЭ имеем номера этих узлов . Образуем из перемещений узлов КЭ вектор-столбец шестого порядка:

. (4.13)

Основная задача состоит в том, чтобы с помощью набора подходящих функций выразить через компоненты вектора перемещения любой точки КЭ и относительные деформации. Решение задачи интерполяции перемещений должно быть однозначным и допускать перемещение КЭ как абсолютно жесткого тела. Этим условиям в данном случае удовлетворяет линейный закон изменения перемещений:

.

В узловых точках значения совпадают с перемещениями узлов . Таким образом, имеем шесть уравнений для определения постоянных a0, a1, a2, b0, b1, b2. Решение уравнений представим в удобной для дальнейших вычислений форме:

. (4.14)

Здесь – линейные полиномы от , зависящие от координат узлов КЭ и удовлетворяющие условиям:

.

Полиномы Ll, обладающие такими свойствами, принято называть функциями формы перемещений конечного элемента. После определения постоянных a0, a1, а2, b0, b1, b2и приведения к виду(4.14) получаем следующие представления для функций формы Ll:

По найденным перемещениям вычислим относительные деформации по формулам (4.3) и (4.4):

(4.15)

Вычисление полной энергии КЭ по формуле (4.12) приводит, после весьма громоздких вычислений, к квадратичной форме относительно перемещений узловых точек. Этот же результат можно получить в более наглядной форме, удобной и для составления равновесия узлов всей пластины.

Введем векторы-столбцы:

(4.16)

Здесь fl – вектор-столбец перемещений узла с номером l. Преимущества такой записи параметров становятся понятными, если использовать операции произведения векторов и матриц. Например, . Отметим также простую связь между напряжениями и внутренними силами: . Теперь запишем выражение полной энергии КЭ в виде:

. (4.17)

Векторам, входящим в выражение энергии, следовало бы приписать индекс j, указывающий на номер конечного элемента. Чтобы не загромождать формулы, условимся не задавать такие индексы.

Выразим объекты через вектор-столбец перемещений узлов КЭ. Из формул (4.15), (4.16) и (4.5) следует:

. (4.18)

Здесь введены обозначения:

,

.

Заметим, что компоненты вектора не зависят от переменных интегрирования, поэтому вектор можно выносить из интегралов по поверхности и границе области пластины:

. (4.19)

Интегралы, входящие в выражение полной энергии, содер-жат матрицу жесткости и вектор-столбец узловых нагрузок j-го КЭ:

. (4.20)

Эти объекты позволяют записать полную энергию КЭ (4.19) в такой форме:

. (4.21)

Заметим, что матрицы и векторы, входящие в правую часть квадратичной формы (4.21), имеют блочную структуру (4.18):

Это свойство дает возможность преобразовать выражение полной энергии (4.21) к виду:

. (4.22)




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.