Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Прямоугольные конечные элементы



Задача вычисления матрицы жесткости и вектора наиболее просто решается для прямоугольного четырехузлового конечного элемента. Для иллюстрации расчетов остановимся на случае, когда представляет собой квадрат со стороной, равной единице, и КЭ расположен в начале системы координат (рис. 4.9). Занумеруем узлы конечного элемента. Примем, что каждый узел имеет три степени свободы перемещений и поворотов. Тогда деформированное состояние КЭ определяется следующими двенад-цатью параметрами . Здесь принимает значения номеров узлов от 1 до 4. Введем следующие обозначения функций формы КЭ: – для перемещений узлов ; – для углов ; – для углов . Отметим свойства этих функций. Например, принимает значение 1 в узле и 0 – в остальных; кроме этого, первые производные функций по переменным во всех узлах равны нулю; и ее производные принимают нулевое значение в узлах КЭ, за исключением производной по координате в узле , которая равна единице. Для функции лишь производная по переменной в узле равна единице. Конкретное представление функций формы для квадрата получим с помощью полиномов Лагранжа первого порядка:

,

и интерполяционных формул Эрмита с использованием полиномов третьей степени:

Эти функции удовлетворяют однородным уравнениям растяжения и изгиба упругой балки и широко используются в расчетах стержневых систем. Образуем такие полиномы:

Непосредственная проверка показывает, что эти функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям и являются функциями формы для узла 1. На их основе можно сконструировать соответствующие функции и для других узлов. Например, для узла 2 имеем:

Остальные полиномы не будем приводить из-за очевидной их структуры. Задача интерполяции перемещений и углов поворота

для точек конечного элемента решается как суперпозиция построенных функций:

.

Векторы-столбцы перемещений и деформаций представим в удобной форме:

,

где введены обозначения:

, (4.29)

.

Приращения перемещений и обусловленные ими относительные деформации de определим так же, как и ранее, используя введенные функции формы:

.

Вычисление разности работ внутренних и поверхностных сил приводит к такому результату:

.

В этой формуле – матрица жесткости конечного элемента; – вектор-столбец узловых нагрузок.

Необходимо отметить, что применение КЭ в виде прямоугольников возможно лишь в случае, когда граница срединной поверхности s является ломаной, образованной из прямолинейных взаимно перпендикулярных отрезков. Для применения полученных здесь результатов следует для каждого КЭ вводить локальные системы координат с обязательным преобразованием вычисленных матриц жесткости и узловых нагрузок в глобальной системе координат. Далее подобные преобразования рассмотрим детальнее.




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.