Мои Конспекты
Главная | Обратная связь

...

Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Теоретические сведения





Помощь в ✍️ написании работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница

практически не всегда возможно. Может случиться, что первообразная не выражается через элементарные функции или выражается слишком сложно. В этих случаях приходится обращаться к методам приближенного интегрирования, т.е. методам, позволяющим найти численное значение определенного интеграла приближенно с любой степенью точности.

Одним из методов приближенного интегрирования является метод прямоугольников. Сущность метода заключается в следующем. Участок интегрирования [a, b] делят на n равных частей и получают точки . Расстояние между соседними точками (шаг) равно . Площадь криволинейной трапеции, т.е. искомый интеграл, приближенно заменяют суммой площадей прямоугольников, образованных отрезками разбиения и значениями подынтегральной функции в левых или правых концах этих отрезков.

Формула метода левых прямоугольников имеет вид

.

Формула метода правых прямоугольников имеет вид

.

Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут приведенные формулы. Однако увеличение отрезков разбиения промежутка интегрирования ведет к усложнению расчетов. Поэтому большой интерес представляют методы, дающие более точные результаты при том же количестве разбиений. Простейшими из таких методов являются методы средних прямоугольников и трапеций.

Если в качестве значений функции использовать средние точки отрезков разбиения, то получим формулу метода средних прямоугольников:

.

Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подынтегральной функции заменить стягивающей ее хордой, то интеграл можно приближенно заменить суммой площадей элементарных трапеций. Формула трапеций имеет вид

.

Для оценки погрешности формул прямоугольников и трапеций кроме интеграла с одинарным шагом Ih вычисляют интеграл с двойным шагом I2h. Погрешность методов левых и правых прямоугольников оценивается формулой

,

а погрешность методов средних прямоугольников и трапеций – формулой

.

Если на каждом сдвоенном отрезке разбиения дугу графика подынтегральной функции заменить стягивающей ее параболой, то формула Симпсона (парабол) имеет вид

,

а погрешность метода парабол оценивается формулой:

.

Типовой вариант

Пусть по результатам мониторинга атмосферы в n точках вдоль оси X (изменяется с постоянным шагом от a до b) была получена функция массовой концентрации вредной газообразной примеси f(x). Вычислить общую массу выброшенного токсичного вещества как приближенное значение определенного интеграла I:

, если a = 0, b = 1.8, n = 12 f(x) = .

Реализация типового варианта

1. Расчет в среде Delphi.

1.1. Создайте проект консольного приложения Delphi.

program Project2;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses

SysUtils, Math;

Const

a=0.0;// левая граница

b=1.8;// правая граница

n=12;// число разбиений

Var

RSimp,Rtrap:real;

//------- подынтегральная функция ---------------

function F(x:real):real;

Begin

F:=(power(x,2)+4.1)/(power(x,4)+1);

end;

//------ левых прямоугольников -------------------

function IntLeft(a,b:real;n:integer):real;

Var

i:integer;

x,h,Sum:real;

Begin

h:=(b-a)/n;

Sum:=0;

for i:=0 to n-1 do begin

x:=a+i*h;

Sum:=Sum+F(x)*h;

end;

IntLeft:=Sum;

end;

//------ правых прямоугольников -------------------

function IntRight(a,b:real;n:integer):real;

Var

i:integer;

x,h,Sum:real;

Begin

h:=(b-a)/n;

Sum:=0;

for i:=1 to n do begin

x:=a+i*h;

Sum:=Sum+F(x)*h;

end;

IntRight:=Sum;

end;

//------ трапеций ----------------------------------

function IntTrap(a,b:real;n:integer;var Rtrap:real):real;

Var

i:integer;

x,C,h,Sum,IntTrap1h,IntTrap2h:real;

Begin

h:=(b-a)/n;

Sum:=F(a)+F(b);// с шагом h

for i:=1 to n-1 do begin

x:=a+i*h;

Sum:=Sum+2*F(x);

end;

IntTrap1h:=h/2*Sum;

Sum:=F(a)+F(b);// с шагом 2*h

for i:=1 to n-1 do begin

if(i mod 2 = 1) then

C:=0

Else

C:=2;

x:=a+i*h;

Sum:=Sum+C*F(x);

end;

IntTrap2h:=h*Sum;

Rtrap:=abs(IntTrap2h-IntTrap1h)/3.0;

IntTrap:=IntTrap1h;

end;

//------ Симпсона ----------------------------------

function IntSimp(a,b:real;n:integer;var RSimp:real):real;

Var

i:integer;

x,C,h,Sum,IntSimp1h,IntSimp2h:real;

Begin

h:=(b-a)/n;

Sum:=F(a)+F(b);// с шагом h

for i:=1 to n-1 do begin

x:=a+i*h;

if(i mod 2 = 0) then

C:=2

Else

C:=4;

Sum:=Sum+C*F(x);

end;

IntSimp1h:=h/3*Sum;

Sum:=F(a)+F(b);// с шагом 2*h

for i:=1 to (n div 2-1) do begin

x:=a+i*2*h;

if(i mod 2 = 0)then

C:=2

Else

C:=4;

Sum:=Sum+C*F(x);

end;

IntSimp2h:=2*h/3*Sum;

RSimp:=abs(IntSimp2h-IntSimp1h)/15;

IntSimp:=IntSimp1h;

end;

//------ выполняемые операторы основной программы –----

begin

WriteLn('----- Initial data: ------');

Writeln('a=',a:4:2,' b=',b:4:2,' n=',n:2);

WriteLn('-------- Results ---------');

Writeln('IntLeft = ',IntLeft(a,b,n):12:8);

Writeln('IntRight = ',IntRight(a,b,n):12:8);

Writeln('IntTrap = ',IntTrap(a,b,n,Rtrap):12:8);

Writeln('IntSimp = ',IntSimp(a,b,n,RSimp):12:8);

Writeln('Rtrap = ',Rtrap:12:8);

Writeln('RSimp = ',RSimp:12:8);

WriteLn('--------------------------');

WriteLn('Press <Enter> to finish');

Readln;

end.

1.2. Выполните приложение и проанализируйте результаты расчета (рис. 7.1).

Рис. 7.1


2. Расчет в среде Mathcad.

2.1. С помощью панели «Formatting» внесите необходимую текстовую информацию о выполняемой работе.

2.2. С помощью панели инструментов «Calculator» внесите заданную подынтегральную однострочную функцию f(x) и исходные данные a, b, n для расчета, снабдив их соответствующими пояснениями (рис. 7.2).

Рис. 7.2

2.3. Определите и вычислите шаг интегрирования h (рис. 7.3).

Рис. 7.3

2.4. Задайте формулу изменения x для построения графика функции (тип-диапазон «m..n» найдите на панели «Matrix») (рис. 7.4).

Рис. 7.4

2.5. Постройте график заданной подынтегральной функции (команда «Insert | Graph | X-Y Plot») (рис. 7.5).

Рис. 7.5

2.6. Используя панель «Calculus», выполните для проверки расчет встроенного определенного интеграла (рис. 7.6).

Рис. 7.6

2.7. Выполните расчет методом левых прямоугольников (рис. 7.7).

Рис. 7.7

2.8. Выполните расчет методом правых прямоугольников (рис. 7.8).

Рис. 7.8

2.9. Выполните расчет методом трапеций для разбиения h и 2h. Для реализации формулы трапеций предварительно определите диапазоны изменения параметров суммирования (для интеграла Ih) и (для интеграла I2h) с помощью панели инструментов «Matrix». Оцените погрешность метода трапеций (рис. 7.9).

Рис. 7.9

2.10. Аналогично выполните расчет приближенного значения определенного интеграла методом Симпсона для разбиения h и 2h. Оцените погрешность метода парабол RSimp (рис. 7.10).

Рис. 7.10

2.11. Проведите сравнительный анализ полученных результатов.

3. Расчет в среде Excel.

3.1. Запустите на выполнение среду Microsoft Excel с помощью кнопки «Пуск».

3.2. Вставить новую строку в документ можно с помощью команды «Вставка / Строки» (рис. 7.11):

Рис. 7.11

3.3. Выделить строки можно левой кнопкой курсора мыши в столбце с арабскими цифрами (рис. 7.12).

Рис. 7.12

3.4. Удалить выделенные строки из документа можно командой «Правка / Удалить» (рис. 7.13).

Рис. 7.13

3.5. Занесите в ячейки А1-А3 информацию о теме работы, ее исполнителе и контроллере (рис. 7.14).

Рис. 7.14

3.6. Шрифт текстовой информации можно традиционно изменить с помощью панели инструментов «Форматирование» (рис. 7.15).

Рис. 7.15

3.7. Панели инструментов можно вывести командой «Вид / Панели инструментов» (рис. 7.16).

 

Рис. 7.16


3.8. Занесите в ячейки D8-D10 исходные данные (рис. 7.17).

Рис. 7.17

3.9. Для внесения в документ заданного интеграла используйте объект редактирования формул «Microsoft Equation 3.0» с помощью команды «Вставка / Объект…» (рис. 7.18). Для внедрения объекта в документ и его функционирования используется технология Microsoft OLE (Object Linked or Embedded – вставка данных путем создания внедренного или связанного объекта). Для редактирования такого объекта необходимо выполнить двойной щелчок левой кнопки мыши по объекту. При этом запускается окно редактирования объекта со своими собственными командами и панелями инструментов.

Рис. 7.18

3.10. Тип вставляемого объекта выберите в появляющейся панели «Вставка объекта» (рис. 7.19).

Рис. 7.19

3.11. Отредактируйте вставляемый объект (рис. 7.20).

Рис. 7.20

3.12. В ячейку D11 вставьте формулу =(D9-D8)/D10 для расчета шага интегрирования , ссылаясь на соответствующие ячейки, которые хранят пределы интегрирования a, b и количество разбиений h (при редактировании формулы можно не набирать индексы ячеек, а просто выделять нужные ячейки курсором). Формула всегда начинается с символа «=» (рис. 7.21).

Рис. 7.21

3.13. При редактировании формул могут понадобиться стандартные функции (кнопка «fx») (рис. 7.22).

Рис. 7.22

3.14. Внесите справочную информацию об используемых приближенных методах численного интегрирования (рис. 7.23).

Рис. 7.23

3.15. Создайте таблицу для параметров: k – номер точки; x – значение аргумента точки интегрирования; y – значение функции в точке интегрирования; Левые – слагаемые для метода левых прямоугольников; Правые – слагаемые для метода правых прямоугольников; C – вспомогательные множительные коэффициенты; C*y – слагаемые для суммирования (рис. 7.24).

Рис. 7.24

3.16. В ячейке А30 введите начальный номер 0 точки интегрирования, в ячейке В30 введите формулу =$D$8+A30*$D$11 для расчета (рис. 7.25). Знак «$» ставится перед индексами столбца и строки в случае, если значение должно остаться константой. После ввода формулы нажмите клавишу «Enter» и формула будет вычислена.

Рис. 7.25

3.17. В ячейке C30 введите формулу =(B30^2+4.1)/(B30^4+1) для расчета подынтегральной функции (рис. 7.26).

Рис. 7.26

3.18. В ячейке А31 введите формулу =A30+1для расчета индекса остальных точек таблицы (рис. 7.27).

Рис. 7.27

3.19. Распространите формулу для индекса по высоте таблицы. Для этого выделите ячейку А31 и подведите курсор мыши к правому нижнему углу ячейки до изменения пиктограммы курсора в виде жирного креста. Затем нажмите левую кнопку мыши и, не отпуская ее, «протащите» вниз по высоте таблицы (рис. 7.28).

Рис. 7.28

3.20. Отпустите кнопку мыши напротив ячейки А42 и индексы точек будут автоматически вычислены (рис. 7.29).

Рис. 7.29

3.21. Вспомогательные формулы для слагаемых сумм интегралов и их местоположение изображены на рис. 7.30.

Рис. 7.30

3.22. После внесения формул таблица выглядит так, как показано на рис. 7.31.

Рис. 7.31

3.23. Распространите формулы по высоте таблицы (рис. 7.32).

Рис. 7.32

3.24. Вычислите сумму слагаемых интеграла левых прямоугольников. Для этого выделите ячейки D31-D42 столбца и нажмите инструмент автосуммы (рис. 7.33).

Рис. 7.33

3.25. В результате в строке формул и ячейке D43 появится формула суммирования (которую можно было бы набрать самому). Необходимо нажать «Enter» для вычисления суммы (рис. 7.34).

Рис. 7.34

3.26. Повторите суммирование для других методов (рис. 7.35).

Рис. 7.35

3.27. В ячейках нижней части таблицы введите формулы для вычисления интегралов и оценки погрешностей, показанные на
рис. 7.36.

Рис. 7.36

3.28. В соответствующих ячейках нижней части таблицы занесите формулы суммирования ячеек колонок, расчета интегралов и погрешности (рис. 7.37).

Рис. 7.37

3.29. Изобразите график подынтегральной функции. Выделите столбец значений функции С30-С42 и нажмите на инструмент «Мастер диаграмм» стандартной панели инструментов (или меню "Вставка / Диаграмма") (рис. 7.38, 7.39).

Рис. 7.38

Рис. 7.39

3.30. На первом шаге работы «Мастера диаграмм» на вкладке «Стандартные» выберите тип диаграммы (рис. 7.40). В окне «Тип» можно выбрать разные типы диаграмм, а в окне «Вид» – увидеть варианты изображения будущей диаграммы. Выберите тип диаграммы «График» с видом «График с маркерами, помечающими точки данных». Можно завершить работу мастера диаграмм, нажав кнопку «Готово», чтобы в дальнейшем изменить свойства диаграммы. Но можно и сразу уточнить некоторые свойства диаграммы. Нажмите кнопку «Далее» для продолжения работы мастера.

Рис. 7.40

3.31. Появится окно второго шага работы «Мастера диаграмм» – «Источник данных диаграмм» с предварительным видом будущей диаграммы. На вкладке «Диапазон данных» видно, что данные располагаются в столбцах, ординатами являются значения функции, абсциссами – номера точек (в дальнейшем заменим номера
значениями ), отсутствуют надписи осей, вертикальные линии сетки и заголовок графика, маркеры точек выведены небольшим размером по умолчанию (рис. 7.41).

Рис. 7.41

3.32. Перейдите на вкладку «Ряд» и нажмите на кнопку в окне «Подписи оси Х» (рис. 7.42).

Рис. 7.42

3.33. Появится окно мастера выбора источника данных (рис. 7.43).

Рис. 7.43

3.34. Выделите столбец аргумента функции B30-B42. Содержимое окна мастера выбора источника данных изменится (рис. 7.44).

Рис. 7.44

3.35. Нажмите на кнопку мастера (рис. 7.45).

Рис. 7.45

3.36. В результате подписи оси Х будут изменены. Нажмите на кнопку «Далее» (рис. 7.46) для продолжения работы мастера диаграмм.

Рис. 7.46

3.37. На следующем шаге работы «Мастера диаграмм» на вкладке «Заголовки» внесите необходимые подписи (рис. 7.47).

Рис. 7.47

3.38. На вкладке «Линии сетки» отметьте необходимость отображения линий сетки по оси Х и нажмите на кнопку «Далее» для продолжения работы мастера диаграмм (рис. 7.48).

Рис. 7.48

3.39. На последнем шаге работы мастера «Размещение диаграммы» есть возможность выбора места построения диаграммы на отдельном или имеющемся листе (рис. 7.49). Оставьте опцию размещения по умолчанию на имеющемся листе и нажмите на кнопку «Готово» для завершения работы мастера диаграмм. В результате диаграмма будет вставлена в документ.

Рис. 7.49

3.40. Размеры диаграммы можно изменить с помощью маркеров. Другие свойства диаграммы можно отредактировать, использовав панель инструментов «Диаграммы» (рис. 7.50).

Рис. 7.50

4. Проанализируйте результаты расчета, полученные в других средах программирования.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Номер варианта Определенный интеграл Номер варианта Определенный интеграл

 

 

Доверь свою работу ✍️ кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.