Часть 1. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

(5 семестр)

1. Соотношение между корпускулярной и волновой точками зрения: кванты света, волны де Бройля.
2. Волновая функция, принцип суперпозиции, волновой пакет. Вероятностная интерпретация. Оценки характерных размеров и энергий квантовых систем по соотношению неопределенностей для координаты и импульса.
3. Уравнение Шредингера. Плотность и ток вероятности, уравнение непрерывности. Стационарные состояния.
4. Одномерное движение, дискретный спектр. Уровни энергии и волновые функции для прямоугольной ямы. Мелкий уровень, дельта-яма.
5. Одномерное движение, непрерывный спектр. Коэффициенты прохождения и отражения.
6. Операторы физических величин. Собственные функции и собственные значения. Вектор состояния, разложение по базисным векторам. Условия, при которых две физические величины могут иметь определенные значения в одном состоянии.
7. Дифференцирование операторов по времени. Сохраняющиеся величины. Эволюция состояний во времени. Представление Гейзенберга.
8. Гармонический осциллятор. Спектр и волновые функции с помощью операторов рождения и уничтожения. Когерентные состояния осциллятора.
9. Квазиклассическое приближение. Квазистационарные состояния.
10. Симметрии в квантовой механике. Представление операторами, генераторы преобразований.
11. Периодическое поле. Теорема Блоха, зонная структура, квазиимпульс, закон дисперсии. Приближение сильной связи и электронный спектр графена.
12. Орбитальный момент, алгебра его операторов, их собственные функции, собственные значения и матричные элементы.
13. Частица в центральном поле.
14. Атом водорода. Спектр и волновые функции связанных состояний.
15. Уравнение Шрёдингера для бесспиновой частицы в магнитном поле.
16. Вариационный метод.
17. Стационарная теория возмущений.
18. Квантовая механика частицы со спином ½. Уравнение Паули. Магнитные моменты электрона, протона, нейтрона. Динамика спина ½ во внешнем магнитном поле.
19. Сложение моментов. Матричные элементы скалярных и векторных операторов. Правила отбора по моменту количества движения и его проекции на ось .
20. Тождественность частиц. Принцип Паули.
21. Элементы теории атома. Атом гелия. Обменное взаимодействие. Таблица Менделеева. LS – взаимодействие и тонкая структура уровней. Определение нормальных термов атомов по правилам Хунда. Магнитный момент атома. Эффект Зеемана.
22. Двухатомная молекула. Колебательные и вращательные уровни.
23. Возмущения, зависящие от времени.
24. Квантование электромагнитного поля. Излучение и поглощение света. Вероятности перехода, спонтанное и индуцированное излучение. Правила отбора. Угловое распределение. Принцип работы лазера.
25. Упругое рассеяние. Амплитуда и сечение, оптическая теорема. Борновское приближение. Рассеяние в кулоновском поле. Атомный формфактор. Неупругое рассеяние.
26. Квантовые компьютеры: кубиты, основные квантовые вентили, квантовые алгоритмы факторизации, поиска в базе данных, телепортация квантового состояния.

Примерный план семинарских занятий.

1. Соотношения де Бройля. Применение законов сохранения энергии-импульса в процессах с участием фотонов. Оценки по соотношению неопределенностей.
2. Волновой пакет для нерелятивистских частиц.
3. Яма с бесконечными стенками. Координатное и импульсное распределения. Переход к классическому пределу. Конечная яма. Особенности применения соотношения неопределенностей для мелкой ямы. -ямы.
4. Уровни энергии гармонического осциллятора из уравнения Шредингера.
5. Представление Гейзенберга. Вычисление коммутатора операторов при не совпадающих временах.
6. Одномерные задачи в непрерывном спектре. Коэффициенты отражения и прохождения для барьера (ямы) и комбинации барьеров (ям).
7. Задачи в периодическом поле. Нахождение примесного уровня и его волновой функции.
8. Квазиклассический метод нахождения уровней для конкретных потенциалов. Решение задачи о двойной яме путем сшивания квазиклассических волновых функций.
9. Квазистационарные состояния, ширина и время жизни для модельных потенциалов.
10. Орбитальный момент. Явный вид угловых волновых функций для .
11. Сферический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции. Решение в прямоугольных координатах и анализ решения в терминах собственных функций момента импульса для низколежащих состояний.
12. Атом водорода. Явный вид координатных волновых функций. Построение состояний, соответствующих классическим круговым орбитам.
13. Теория возмущений. Ангармонические поправки к уровням энергии осциллятора. Эффект Штарка в водороде.
14. Нейтральная частица со спином ½ во внешнем постоянном и переменном магнитном поле. Уровни Ландау однослойного графена в магнитном поле.
15. Тонкая структура уровней на примере спектров щелочных атомов. Эффект Зеемана и Пашена-Бака. Примеры определения основных термов элементов по правилам Хунда.
16. Теория возмущений, зависящих от времени. Внезапные возмущения. Адиабатические переходы в атоме водорода в переменном электрическом поле. Фотоэффект.
17. Магнито-дипольное излучение при перевороте спина во внешнем магнитном поле.
18. Борновское приближение для амплитуды рассеяния на сферически-симметричных потенциалах разной формы.
19. Неупругое рассеяние быстрых электронов на атоме водорода с возбуждением из основного состояния в состояние c .
20. Простейшие одно- и двухкубитовые квантовые вентили NOT, CNOT и т.д. Модельная реализация этих вентилей.

Литература

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика.
2. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике, вып. 8 и 9.
3. В. Гейзенберг. Физические принципы квантовой теории. Изд. РХД, 2002 г.
4. И.И. Гольдман, В.Д. Кривченков. Сборник задач по квантовой механике.
5. В.М. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган. Задачи по квантовой механике.
6. Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. (Наука, 1978).
7. В.Г. Сербо, И.Б. Хриплович. Конспект лекций по квантовой механике. (РИЦ НГУ, 2010).
8. И.Ф. Гинзбург. Введение в физику твердого тела. (Издательство «Лань», 2007).
9. Г. Л. Коткин, В. А. Ткаченко, О. А. Ткаченко. Компьютерный практикум

по квантовой механике. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1996.

1. А.А. Кожевников. Графен и квантовые вычисления: Дополнительные главы к курсу «Введение в физику твердого тела». РИЦ НГУ (2011).

ЗАДАНИЕ № 1 (срок сдачи к первой контрольной неделе)

1. Пучок атомов серебра получается испарением из печи с температурой и пропусканием их через коллиматор, размер которого можно менять. Пользуясь соотношением неопределённостей, оценить минимальный размер пятна на экране, установленном за коллиматором на расстоянии 1 м (2 балла).

1. Координатная волновая функция основного состояния атома водорода имеет вид , где , . Вычислить , , в этом состоянии. Указание: при вычислениях воспользоваться формулой (6 баллов).

1. Найти энергии и волновые функции стационарных состояний частицы в поле U(x) = -G [δ(x-a) + δ (x) + δ(x+a)]. При каких значениях a число уровней уменьшается до двух, до одного в таком поле? В предельном случае получить явные выражения для уровней энергии. Численно оценить параметр предполагая, что частица является электроном, -функция моделирует яму глубиной 13.6 эВ, шириной 1 , расстояние между ямами A (6 баллов).

ЗАДАНИЕ №2 (срок сдачи ко второй контрольной неделе)

1. Выписать оператор Гамильтона для бесспиновой заряженной частицы в магнитном поле с векторным потенциалом . Используя уравнения Гейзенберга, найти операторы скорости , . Вычислить коммутатор . Найти соотношение неопределённостей для и (6 баллов).
2. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных состояний частицы в одномерном поле с потенциальной энергией в квазиклассическом приближении (4 балла).
3. Найти энергию волнового уровня частицы с массой поле предполагая, что , . Вычислить отношение вероятностей в этом состоянии (4 балла).
4. Квантовая система состоит из двух частиц со спином ½, взаимодействующих по закону . Найти уровни энергии системы во внешнем постоянном однородном магнитном поле B = (0,0,B). Выписать соответствующие выражения для спиновых волновых функций в базисе . Гиромагнитные отношения равны и . Поступательным движением пренебречь (5 баллов).

ЗАДАНИЕ № 3(срок сдачи 30 декабря).

1. Два тождественных фермиона со спином ½ находятся в одномерной потенциальной яме ширины с бесконечными стенками. Взаимодействие между ними вначале отсутствует. Выписать полные (т.е. включающие спиновую и координатную часть) волновые функции системы, отвечающие четырём низшим энергетическим уровням. Вычислить в первом порядке теории возмущений поправки к этим уровням энергии за счёт возмущения вида 6 баллов).
2. Заряженная частица находится на уровне с главным квантовым числом изотропного гармонического осциллятора. Вычислить время жизни частицы на этом уровне, обусловленное однофотонным переходом. Ответ довести до числа в предположении, что масса частицы равна массе атома рубидия, а частота осциллятора Гц. Найти угловое распределение испущенных квантов при излучении из состояний , (0,1,0) и (0,0,1) соответственно. (7 баллов)
3. Быстрые электроны рассеиваются ядром с зарядом . Найти дифференциальное сечение упругого рассеяния для случая, когда заряд ядра (a) равномерно распределен по шару радиуса и (b) равномерно распределен по поверхности сферы радиуса (6 баллов).
4. Имеется кубитов , … . Построить из них кубитовое состояние «шредингеровского кота» , последовательно применяя основные однокубитовые и двухкубитовые вентили (3 балла).

Итого 55 баллов.

· За сданные вовремя задачи из Задания и за контрольные начисляются баллы. Задача считается сданной вовремя, если она сдана не позже даты, указанной в задании. За несданные вовремя задачи баллы не начисляются!

· К этим баллам добавляются баллы, полученные на двух контрольных. Максимальное число баллов за контрольные работы в 5-м семестре равно 40. Сумма набранных баллов влияет на оценку при дифф. зачёте.

· Для допуска к дифф. зачёту необходимо сдать все задачи из Задания.

· Приём заданий прекращается 30 декабря!

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА