Соотношение между корпускулярной и волновой точками зрения: кванты света, волны де Бройля.
Волновая функция, принцип суперпозиции, волновой пакет. Вероятностная интерпретация. Оценки характерных размеров и энергий квантовых систем по соотношению неопределенностей для координаты и импульса.
Уравнение Шредингера. Плотность и ток вероятности, уравнение непрерывности. Стационарные состояния.
Одномерное движение, дискретный спектр. Уровни энергии и волновые функции для прямоугольной ямы. Мелкий уровень, дельта-яма.
Одномерное движение, непрерывный спектр. Коэффициенты прохождения и отражения.
Операторы физических величин. Собственные функции и собственные значения. Вектор состояния, разложение по базисным векторам. Условия, при которых две физические величины могут иметь определенные значения в одном состоянии.
Дифференцирование операторов по времени. Сохраняющиеся величины. Эволюция состояний во времени. Представление Гейзенберга.
Гармонический осциллятор. Спектр и волновые функции с помощью операторов рождения и уничтожения. Когерентные состояния осциллятора.
Симметрии в квантовой механике. Представление операторами, генераторы преобразований.
Периодическое поле. Теорема Блоха, зонная структура, квазиимпульс, закон дисперсии. Приближение сильной связи и электронный спектр графена.
Орбитальный момент, алгебра его операторов, их собственные функции, собственные значения и матричные элементы.
Частица в центральном поле.
Атом водорода. Спектр и волновые функции связанных состояний.
Уравнение Шрёдингера для бесспиновой частицы в магнитном поле.
Вариационный метод.
Стационарная теория возмущений.
Квантовая механика частицы со спином ½. Уравнение Паули. Магнитные моменты электрона, протона, нейтрона. Динамика спина ½ во внешнем магнитном поле.
Сложение моментов. Матричные элементы скалярных и векторных операторов. Правила отбора по моменту количества движения и его проекции на ось .
Тождественность частиц. Принцип Паули.
Элементы теории атома. Атом гелия. Обменное взаимодействие. Таблица Менделеева. LS – взаимодействие и тонкая структура уровней. Определение нормальных термов атомов по правилам Хунда. Магнитный момент атома. Эффект Зеемана.
Двухатомная молекула. Колебательные и вращательные уровни.
Возмущения, зависящие от времени.
Квантование электромагнитного поля. Излучение и поглощение света. Вероятности перехода, спонтанное и индуцированное излучение. Правила отбора. Угловое распределение. Принцип работы лазера.
Упругое рассеяние. Амплитуда и сечение, оптическая теорема. Борновское приближение. Рассеяние в кулоновском поле. Атомный формфактор. Неупругое рассеяние.
Квантовые компьютеры: кубиты, основные квантовые вентили, квантовые алгоритмы факторизации, поиска в базе данных, телепортация квантового состояния.
Примерный план семинарских занятий.
Соотношения де Бройля. Применение законов сохранения энергии-импульса в процессах с участием фотонов. Оценки по соотношению неопределенностей.
Волновой пакет для нерелятивистских частиц.
Яма с бесконечными стенками. Координатное и импульсное распределения. Переход к классическому пределу. Конечная яма. Особенности применения соотношения неопределенностей для мелкой ямы. -ямы.
Уровни энергии гармонического осциллятора из уравнения Шредингера.
Представление Гейзенберга. Вычисление коммутатора операторов при не совпадающих временах.
Одномерные задачи в непрерывном спектре. Коэффициенты отражения и прохождения для барьера (ямы) и комбинации барьеров (ям).
Задачи в периодическом поле. Нахождение примесного уровня и его волновой функции.
Квазиклассический метод нахождения уровней для конкретных потенциалов. Решение задачи о двойной яме путем сшивания квазиклассических волновых функций.
Квазистационарные состояния, ширина и время жизни для модельных потенциалов.
Орбитальный момент. Явный вид угловых волновых функций для .
Сферический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции. Решение в прямоугольных координатах и анализ решения в терминах собственных функций момента импульса для низколежащих состояний.
Атом водорода. Явный вид координатных волновых функций. Построение состояний, соответствующих классическим круговым орбитам.
Теория возмущений. Ангармонические поправки к уровням энергии осциллятора. Эффект Штарка в водороде.
Нейтральная частица со спином ½ во внешнем постоянном и переменном магнитном поле. Уровни Ландау однослойного графена в магнитном поле.
Тонкая структура уровней на примере спектров щелочных атомов. Эффект Зеемана и Пашена-Бака. Примеры определения основных термов элементов по правилам Хунда.
Теория возмущений, зависящих от времени. Внезапные возмущения. Адиабатические переходы в атоме водорода в переменном электрическом поле. Фотоэффект.
Магнито-дипольное излучение при перевороте спина во внешнем магнитном поле.
Борновское приближение для амплитуды рассеяния на сферически-симметричных потенциалах разной формы.
Неупругое рассеяние быстрых электронов на атоме водорода с возбуждением из основного состояния в состояние c .
Простейшие одно- и двухкубитовые квантовые вентили NOT, CNOT и т.д. Модельная реализация этих вентилей.
Литература
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика.
Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике, вып. 8 и 9.
В. Гейзенберг. Физические принципы квантовой теории. Изд. РХД, 2002 г.
И.И. Гольдман, В.Д. Кривченков. Сборник задач по квантовой механике.
В.М. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган. Задачи по квантовой механике.
Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. (Наука, 1978).
И.Ф. Гинзбург. Введение в физику твердого тела. (Издательство «Лань», 2007).
Г. Л. Коткин, В. А. Ткаченко, О. А. Ткаченко. Компьютерный практикум
по квантовой механике. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1996.
А.А. Кожевников. Графен и квантовые вычисления: Дополнительные главы к курсу «Введение в физику твердого тела». РИЦ НГУ (2011).
ЗАДАНИЕ № 1 (срок сдачи к первой контрольной неделе)
Пучок атомов серебра получается испарением из печи с температурой и пропусканием их через коллиматор, размер которого можно менять. Пользуясь соотношением неопределённостей, оценить минимальный размер пятна на экране, установленном за коллиматором на расстоянии 1 м (2 балла).
Координатная волновая функция основного состояния атома водорода имеет вид , где , . Вычислить , , в этом состоянии. Указание: при вычислениях воспользоваться формулой (6 баллов).
Найти энергии и волновые функции стационарных состояний частицы в поле U(x) = -G [δ(x-a) + δ (x) + δ(x+a)]. При каких значениях a число уровней уменьшается до двух, до одного в таком поле? В предельном случае получить явные выражения для уровней энергии. Численно оценить параметр предполагая, что частица является электроном, -функция моделирует яму глубиной 13.6 эВ, шириной 1 , расстояние между ямами A (6 баллов).
ЗАДАНИЕ №2 (срок сдачи ко второй контрольной неделе)
Выписать оператор Гамильтона для бесспиновой заряженной частицы в магнитном поле с векторным потенциалом . Используя уравнения Гейзенберга, найти операторы скорости , . Вычислить коммутатор . Найти соотношение неопределённостей для и (6 баллов).
Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных состояний частицы в одномерном поле с потенциальной энергией в квазиклассическом приближении (4 балла).
Найти энергию волнового уровня частицы с массой поле предполагая, что , . Вычислить отношение вероятностей в этом состоянии (4 балла).
Квантовая система состоит из двух частиц со спином ½, взаимодействующих по закону . Найти уровни энергии системы во внешнем постоянном однородном магнитном поле B = (0,0,B). Выписать соответствующие выражения для спиновых волновых функций в базисе . Гиромагнитные отношения равны и . Поступательным движением пренебречь (5 баллов).
ЗАДАНИЕ № 3(срок сдачи 30 декабря).
Два тождественных фермиона со спином ½ находятся в одномерной потенциальной яме ширины с бесконечными стенками. Взаимодействие между ними вначале отсутствует. Выписать полные (т.е. включающие спиновую и координатную часть) волновые функции системы, отвечающие четырём низшим энергетическим уровням. Вычислить в первом порядке теории возмущений поправки к этим уровням энергии за счёт возмущения вида 6 баллов).
Заряженная частица находится на уровне с главным квантовым числом изотропного гармонического осциллятора. Вычислить время жизни частицы на этом уровне, обусловленное однофотонным переходом. Ответ довести до числа в предположении, что масса частицы равна массе атома рубидия, а частота осциллятора Гц. Найти угловое распределение испущенных квантов при излучении из состояний , (0,1,0) и (0,0,1) соответственно. (7 баллов)
Быстрые электроны рассеиваются ядром с зарядом . Найти дифференциальное сечение упругого рассеяния для случая, когда заряд ядра (a) равномерно распределен по шару радиуса и (b) равномерно распределен по поверхности сферы радиуса (6 баллов).
Имеется кубитов , … . Построить из них кубитовое состояние «шредингеровского кота» , последовательно применяя основные однокубитовые и двухкубитовые вентили (3 балла).
Итого 55 баллов.
· За сданные вовремя задачи из Задания и за контрольные начисляются баллы. Задача считается сданной вовремя, если она сдана не позже даты, указанной в задании. За несданные вовремя задачи баллы не начисляются!
· К этим баллам добавляются баллы, полученные на двух контрольных. Максимальное число баллов за контрольные работы в 5-м семестре равно 40. Сумма набранных баллов влияет на оценку при дифф. зачёте.
· Для допуска к дифф. зачёту необходимо сдать все задачи из Задания.