Мои Конспекты
Главная | Обратная связь

...

Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Метод найменших квадратів ( МНК ).





Помощь в ✍️ написании работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

4. Шляхи реалізації цілей заняття:

 

Для реалізації цілей заняття Вам необхідні такі вихідні знання:

1. Прямі, посередні, сукупні та сумісні вимірювання.

2. Похибки засобів вимірювань.

3. Похибки результатів вимірювань.

4. Інструментальні похибки

5. Методичні похибки

6. Основна, додаткова та експлуатаційна похибки

7. Вплив завад на результат вимірювання.

8. Похибки округлення.

9. Похибки відліку.

10. Похибки табличних даних.

 

5. Завдання для перевірки студентами свого вихідного рівня знань.

 

Контрольні питання

 

1. Що таке вимірювання.

2. Які вимірювання звуть прямими.

3. Які вимірювання звуть посередніми.

4. Які вимірювання звуть сукупними.

5. Які вимірювання звуть сумісними.

6. Які засоби вимірювань Ви знаєте.

7. Які похибки результатів вимірювань Ви знаєте.

8. Що таке інструментальні похибки.

9. Що таке методичні похибки.

10. Що таке основна похибка.

11. Що таке додаткова похибка.

12. Що таке експлуатаційна похибка.

13. Похибки округлення.

14. Похибки відліку.

15. Похибки табличних даних

 

6. Інформацію для закріплення вихідних знань-вмінь можна знайти у посібниках:

1 Жуматій П.Г. Лекція “Математична статистика”. Одеса, 2009.

2 Жуматій П.Г. “ Обробка медико-біологічних даних”. Одеса, 2009.

3 Чалий О.В., Агапов Б.Т., Цехмістер Я.В. Медична і біологічна фізика. Київ, 2004.

7. Зміст навчального матеріалу з даної теми з виділенням основних вузлових питань.

Основним способом одержання інформації є вимірювання, тобто експериментальне визначення різних величин.

В більш широкому смислі вимірюванням називається операція, у результаті якої ми пізнаємо, у скільки разів величина, що виміряється, більше або менше відповідної величини, прийнятої за одиницю.

Результати всіх вимірювань, як би ретельно та на якому б науковому рівні вони не виконувались, утримують деякі похибки. Тому у задачу вимірювань входить не тільки визначення величини, але й оцінка допущеної при вимірюванні похибки.

 

Залежно від способу одержання результату бувають:

* прямі вимірювання, при яких результати знаходять безпосередньо за допомогою приладу (вимірювання температури хворого термометром, артеріального тиску - сфігмотонометром і т.і.);

* посередні вимірювання, при яких результати знаходять на основі прямих вимірювань величин, пов'язаних з шуканою величиною відомою залежністю у вигляді формул, графіків, таблиць і т.ін. ( наприклад, опір живої тканини обчислюють за формулою, підставляючи у неї вимірені за допомогою приладів значення сили струму та напруги );

* сукупні вимірювання, при яких результати знаходять, розв’язуючи системи рівнянь, що одержують при підстановці у формулу комплектів результатів прямих вимірювань, відповідних різним умовам вимірювань (наприклад, вживаючи закон Ома для визначення ЕРС термоелемента E,

,

бачимо, що тільки значення сили струму I та зовнішнього опору R можна знайти за допомогою прямих вимірювань; вихід у застосуванні сукупних вимірювань, а саме, необхідно вимірити силу струму I при двох різних значеннях зовнішнього опору R, та підставити у формулу закона Ома комплекти значень I, R , щоб одержати систему двох рівнянь відносно двох невідомих E та r

,

вирішуючи яку знаходять шукану відповідь );

сумісні (спільні) вимірювання - одночасні (прямі або посередні) вимірювання двох або більше величин з метою визначення виду залежності між ними (наприклад, одночасні вимірювання освітленості та сили фотоструму з метою побудови люкс-амперної характеристики фотоелемента).

Характер проявлення та причини виникнення похибок вельми різноманітні, у зв'язку з чим розрізнюють декілька десятків їх різновидів. Розглянемо основні:

* похибки результатів вимірювань - числа, які вказують можливі межі невизначеності значень величин, що виміряються;

* похибки засобів вимірювань - визначені властивості приладів та вимірювальних установок, які приводять до відхилення результату вимірювання від істинного значення величини, що виміряється.

Історично частина найменувань різновидів похибок закріпилась за похибками результатів вимірювань, інша - за похибками засобів вимірювань, а деякі застосовуються і до одних, і до других.

Серед похибок засобів вимірювань розрізнюють:

* інструментальні (приборні або апаратурні) похибки - це ті, які належать даному засобу вимірювання, можуть бути визначені при випробуваннях та записані у його паспорт;

* методичні похибки - це ті, які пов'язані не з приладом, а з методом його застосування або покладеним у основу його розробки, і, отже, не можуть бути вказані у паспорті приладу, (до них відноситься, зокрема, похибка відліку, виникаюча при округленні показів при відліку з шкали прилада);

* основні похибки - це ті, які властиві даному засобу вимірювання при нормальних умовах експлуатації;

* додаткові похибки - це ті, які властиві засобу вимірювання при відхиленні умов експлуатації від нормальних, передбачених у паспорті;

* експлуатаційні похибки властиві засобу вимірювання у реальних умовах експлуатації, вони складаються з основних та додаткових.

 

В процесі вимірювання на вимірювальний прилад діють різні фактори, один з яких - величину, що виміряється, прилад має виділити на фоні всіх інших завад. Залежно від характеру дії завад на прилад розрізнюють:

* систематичні похибки, які викликаються завадами, діючими однаково при повторенні одних і тих же вимірювань;

* прогресуючі (дрейфові) похибки, які викликаються завадами, що повільно та непередбачувано змінюються за часом;

* випадкові похибки, які викликаються завадами, діючими випадково при повторенні одних і тих же вимірювань,

* грубі похибки, які викликаються неурахуванням різкої зміни умов вимірювання, несправністю засобів вимірювань, прорахунком експериментатора і т.і.

Межі основної похибки, що допускається при виробництві засобів вимірювань, регламентуються державними стандартами та вказуються у паспорті та на шкалі приладу. Для цього використовуються:

* абсолютна похибка , яка виражається одним числом

a ,

де - межа відхилення, що допускається, результату вимірювання х шуканої величини від її істинного значення a

;

* відносна похибка Е

,

де Е - граничне значення частки абсолютної похибки від результату вимірювання х, вираженої у відсотках;

* приведена похибка

,

де - граничне значення частки абсолютної похибки від нормуючого значення , вираженої у відсотках.

Для приладів з рівномірною або степеневою шкалою нормуюче значення дорівнює:

* верхній межі діапазону вимірювань, якщо нульова позначка знаходиться на краю шкали або поза неї;

* ширині діапазону вимірювань, якщо нульова позначка знаходиться усередині шкали.

Часто у якості характеристики межі, яка визначає гарантовані похибки, використовується клас точності М, що задається у паспорті та на шкалі приладу звичайно одним з чисел:

6; 4; 2,5; 1,5; 1,0; 0,5; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01; 0,005; 0,002; 0,001.

Клас точності залежно від умовних позначень може характеризувати різні види похибок:

* приведену похибку , якщо на шкалі вказано одне з значень класу точності без будь-яких виділень, наприклад, напис 0,2 на шкалі відповідає = 0,2% ;

* відносну похибку Е, якщо на шкалі вказано одне з значень класу точності, обведене колом, наприклад, напис 0,2 у колі на шкалі відповідає Е = 0,2%;

* відносну похибку Е, якщо на шкалі вказана пара значень класу точності у вигляді , при цьому

.

Похибки округлення, відліку та табличних даних

Похибки округлень виникають внаслідок округлення до визначеного розряду точного або наближеного числа, яким може бути результат вимірювання. При округленні користуються правилом:

* останню значущу цифру не змінюємо, якщо перша з цифр, що відкидаються, менше 5;

* останню значущу цифру збільшуємо на 1, якщо перша з цифр, що відкидаються, дорівнює або більше 5.

При цьому похибка округлення не пеpевищує половини одиниці розряду останньої значущої цифри округленого числа.

Приклад 1.

Округлити до десятків числа 235,7.

Розв’язок.

Перша з цифр, що відкидаються, дорівнює 5, тому округлене число становить 240. Остання значуща цифра округленого числа 4 позначає число десятків, тому половина одиниці розряду останньої значущої цифри округленого числа дорівнює 5. Результат округлення разом з похибкою записують у вигляді 240 ± 5.

Похибка відліку виникає при округленні показань засобів вимірювань. Граничне значення похибки відліку дорівнює:

* 0,5 ціни поділки шкали, якщо округлювати показання до значення, відповідному найближчий мітці шкали;

* 0,2 ціни поділки шкали, якщо можливо оцінити на око 0,1 або 0,2 ціни поділки шкали.

Ми розглянули граничні значення похибок. Будь-яка похибка округлення усередині інтервалу (v - граничне значення похибки округлення) має одну й ту ж імовірність, тому півширина надійного інтервалу при надійній імовірності дорівнює

.

8. Завдання для самостійної підготовки студентів.

 

8.1 Завдання для самостійного вивчення матеріалу з теми.

 

8.1.1 Практичне обчислення похибок

 

Практичне обчислення похибок прямих вимірювань

 

Похибки прямих вимірювань складаються з інструментальних похибок, випадкових похибок та похибок відліку. Залежно від співвідношення між ними накладаються умови на кiлькiсть вимірювань та метод обчислення похибки вимірювань:

* якщо випадкова похибка значно менша за інструментальну (повто­рен­ня вимірювань дає однакові результати), то вимірювання слід здійснювати один раз, а півширина надійного інтервалу при надійній імовірності обчислюється за формулою

,

де - коефіцієнт Стьюдента при n= та надійній імовірності , - граничне значення основної похибки засобу вимірювання, v - граничне значення похибки відліку;

* якщо випадкова похибка значно перевершує інструментальну (повторення вимірювань дає результати, що відрізняються), то вимірювання слід здійснювати декілька разів, а півширина надійного інтервалу при надійній імовірності обчислюється за формулою

,

де - коефіцієнт Стьюдента при заданих надійній імовірності та числі вимірювань п, а s - вибіркова оцінка стандартного відхилення результатів вимірювань від вибіркового середнього;

* якщо випадкова та інструментальна похибки порівнянні за величиною (повторення вимірювань дає як результати, що збігають, так і такі, що слабо відрізняються), то вимірювання слід здійснювати декілька разів, а півширина надійого інтервалу обчислюється за формулою

,

при цьому враховується вплив всіх трьох похибок, оскільки похибка відліку є у даному випадку складовою випадкової похибки.

Після закінчення обчислень результат вимірювань та розраховане значення похибки необхідно округлити, вживаючи правила:

* похибка результату вимірювань вказується двома значущими цифрами, якщо перша з них менше 3, та однією значущою цифрою у інших випадках;

* результат вимірювання округлюється до того ж десятичного розряду, яким закінчується округлене значення абсолютної похибки (півширини надійного інтервалу );

* округлення здійснюється у остаточній відповіді, а всі попередні обчислення проводять з одним-двома зайвими знаками.

Остаточну відповідь записують у вигляді

од.вим., Р = .

Приклад 2.

Обробити результат вимірювання біопотенціалу спокою , виконаного за допомогою вольтметра з ціною поділки , границею вимірювань та класом точності , вважаючи, що надійна ймовірність = 95%.

Розв’язок.

В даному прикладі інструментальна похибка значно перевершує випадкову (повторення вимірювань дає однакові результати), тому вимірювання здійснювалось один раз і півширину надійного інтервалу при надійній імовірності α слід обчисляти за формулою

.

Коефіцієнт Стьюдента для заданої надійної імовірності = 95% при п= знаходимо у таблиці розподілу Стьюдента

.

Границю основної похибки вольтметра обчислимо за допомогою відомого з умови прикладу класу точності. Оскільки клас точності М характеризує у даному випадку приведену похибку, тобто , , а

,

то границя основної похибки вольтметра становить

.

Границя похибки відліку v ( оскільки поділки дрібні ) дорівнює половині ціни поділки z, тобто .

Всі величини, вхідні у формулу для півширини надійного інтервалу , знайдені або відомі з умов прикладу. Отже, маємо

.

Кінцеву відповідь записують у вигляді

.

У відповідності з вимогами державного стандарту у відповіді для абсолютної похибки залишено дві значущі цифри, а числове значення результату вимірювань закінчується цифрою того ж розряду, що і значення півширини надійного інтервалу.

Приклад 3.

При вимірюванні в'язкості крові віскозиметром ВК-4 довжина стовпчика крові l у капілярі приймала такі значення ( мм )

35, 40, 37, 43, 45.

Обробити результати вимірювання, вважаючи, що надійна імовірність становить = 95%.

Розв’язок.

В даному прикладі випадкова похибка значно перевершує інструментальну, тому вимірювання здійснювались декілька разів, а півширину надійного інтервалу при надійній імовірності α треба обчисляти за формулою

,

Коефіцієнт Стьюдента при даній надійній імовірності = 95% та п = 5 знаходимо у таблиці розподілу Стьюдента

.

Вибіркове середнє та вибіркова оцінка стандартного відхилення s результатів вимірювань від вибіркового середнього обчислюются за відомими формулами

.

Півширина надійного інтервалу дорівнює

мм .

Кінцева відповідь має вигляд

мм , .

У відповідності з вимогами державного стандарту у відповіді для абсолютної похибки залишена одна значуща цифра, а числове значення результату вимірювань закінчується цифрою того ж розряду, що і значення абсолютної похибки.

 

Практичне обчислення похибок посередніх вимірювань

 

Задача посередніх вимірювань - знаходження шуканої величини U, яка є відомою функцією однієї або декількох змінних . У загальному випадку ця задача громіздка. Слід вирахувати для кожного набору даних і далі обробляти одержані значення як звичайну виборку за загальними правилами побудови інтервальної оцінки.

Проте, задача звичайно спрощується через те, що похибки аргументів малі, а частинні похідні функції кінцеві. У цьому випадку необхідно заздалегідь обробити результати вимірювань змінних та представити їх у стандартній формі

од.вим., Р = ;

од.вим., Р = ;

од.вим., Р = ;

......................................... .

Кінцева мета - знайти величину U, представивши відповідь у вигляді

од.вим., Р = .

Точкову оцінку одержують підстановкою вибіркових середніх у формулу та необхідними обчисленнями

.

Похибки посередніх вимірювань обчислюють за формулами:

* абсолютна похибка (півширина надійного інтервалу)

• відносна похибка E

.

Природно, що обчислюють за формулами тільки одну з похибок, а саме, ту, яку вирахувати простіше. Другу похибку визначають, використовуючи формулу

.

Для різних окремих випадків формули для абсолютної та відносної похибки спрощуються. Так, для алгебраічної суми

зручніше першою обчислити абсолютну похибку

,

а для додатків, часток, ступенів та коренів такі функції у загальному випадку можуть бути представлені у вигляді

,

де - будь-які дійсні числа (додатні та від’ємні, цілі та дробові) зручніше першою обчисляти відносну похибку

.

Приклад 4.

Визначити опір шкіри людини, виходячи з даних прямих вимірювань прикладеної напруги U

,

а також сили струму I, пройшовшого через живу тканину,

.

Опір шкіри R визначається формулою

.

Розв’язок.

Точкова оцінка опору шкіри равна

(ом).

Формула відноситься до випадку, коли зручніше першою обчислювати відносну похибку

.

Абсолютна похибка дорівнює

(ом).

Результат посереднього вимірювання опору шкіри R становить

(ом), .

 

Обробка результатів спільних вимірювань

 

На практиці сама необхідність вимірювань більшості величин викликається cаме тим, що вони не залишаються постійними, а змінюються при зміненні інших величин. У цьому випадку метою вимірювання є визначення виду залежності між величинами, що виміряються.

Основною завадою для визначення виду залежності між величинами, що виміряються, є випадковий розкид дослідних даних.

* якщо випадковий розкид змінних Х та Y майже відсутній ( дифузність вихідних даних мала ), то графік можна побудувати, проводячи через ці точки плавну криву; при цьому одну або декілька точок, що не влучили на неї, слід розглядати як можливі промахи.

* якщо дифузність вихідних даних значна, то для їх обробки треба застосовувати статистичні методи.

Y * * * * ** * * * * * * * * * * * * * * * * * * X

 

Одним з найпростіших експрес-методов статистичної обробки є метод обведення контуру плавних меж смуги розсіювання експериментальних точок. Якщо при цьому для збереження плавності меж деякі з точок доводиться залишити поза контуром, то їх розглядають як можливі промахи або аномально великі випадкові відхилення. Форма обведеної контуром смуги розсіювання експериментальних точок часто вже дозволяє зробити висновок про характер залежності між змінними Х та Y. Для вказівки цієї залежності необхідно провести на око осьову лінію цього контуру. Не дивлячись на простоту методу контурів, він дозволяє швидко визначити положення та форму шуканої кривої та провести її, враховуючи розташування всіх експериментальних точок.

При великій дифузності даних, коли метод контурів не дає відповіді, може бути корисним метод медіанних центрів.

Обведене контуром поле точок ділять на декілька рівних частин ( 3 - 5 ) та у кожній з них знаходять медіанний центр, тобто точку перетинання вертикальної та горизонтальної ліній зліва та справа, та вище та нижче від яких розташовано рівне число точок. Потім через медіанні центри проводять плавну лінію. При використанні методу медіаних центрів промахи виключати не треба, оскільки оцінка положення центру за допомогою медіани нечутлива до промахів.

Для одержання рівняння кривої, що описує залежність між змінними Х та Y, звичайно користуються методом найменших квадратів. Для цього обирають придатну функцію

,

що залежить від деяких параметрів , які підбирають так, щоб сума квадратів відхилень наближеної залежності

y =

від усіх експериментальних значень була мінімальною

.

Для мінімізації вираховують частинні похідні

,

прирівнюють їх нулю та вирішують одержану систему p рівнянь

відносно невідомих .

Доверь свою работу ✍️ кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.