Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Метод математической индукции



Допустим, необходимо доказать справедливость бесконечной последовательности утверждений Р(n), зависящих от натуральной переменной n. Метод математической индукции — один из способов доказательства. Он заключается в следующем.

1. Вначале доказывают справедливость Р(n) при n=1 (базис индукции).

2. Затем доказывают, что из истинности Р(k) для любого натурального числа k следует истинность и Р(k+1) (индуктивный переход).

Если оба пункта доказаны, то утверждение Р(n) истинно для всех натуральных чисел. В тех случаях, когда доказывается справедливость Р(n) для всех n³ n0 >1, базис индукции доказывают при n = n0 .

Пример 1. Докажем методом математической индукции равенство 1+3+5+…+(2n-1)=n2.

Решение.

Базис индукции. n=1: 1=1равенство выполняется.

Индуктивный переход. Покажем, что из справедливости равенства для любого натурального числа k следует его истинность для (k+1) (индуктивный переход).

1 + 3 + 5 +…+ (2k–1) + (2(k+1) – 1) = k2 + (2(k+1) – 1) = k2 + 2k + 1 = (k+1)2.

Следовательно, по теореме о методе математической индукции равенство справедливо для всех натуральных чисел, что и требовалось доказать.

Пример 2. Докажем методом математической индукции неравенство logn 2 > 1/ n при n >1.

Решение. Для упрощения доказательства перейдем к следующему равносильному неравенству: 2n>n. Его получим, умножая обе части на n и возводя n в степени, стоящие в левой и правой частях.

Базис индукции. n=2: 4>2— неравенство выполняется.

Индуктивный переход. Покажем, что из 2k > k для любого натурального числа k следует: 2(k+1)> k+1.

2(k+1) = 2× 2k > 2× k ³ ((k +1)/k)× k = k +1.

Справедливость переходов следует из индуктивного допущения 2k>k и неравенства 2 ³ ((k+1)/k), верного для всех натуральных k (так как при k ³ 1выполняется: 2 k ³ k+1).

По теореме получим, что рассмотренное неравенство справедливо для всех натуральных чисел, больших 1, что и требовалось доказать.

Пример 3. Докажем методом математической индукции, что выражение 1+32n-1при всех натуральных n делится нацело (без остатка) на4.

Решение.

Базис индукции. n=1:1+32-1= 4делится нацело на4.

Индуктивный переход. Покажем, что если 1+32k1для любого натурального числа k делится нацело на 4, то и
1+32(k+1)–1 делится нацело на 4 .

1 + 32(k+1) –1= 1 + 32(k+1) -1– (1 + 32k–1) + 1 + 32k–1 = (32(k+1)–1 – 32k–1 ) + 1 + 32k–1 = 32k-1× (32 – 1) +1 + 32k–1 = 32k–1× 8 +1 + 32k–1.

Число 1+32(k+1)–1представлено в виде суммы двух слагаемых. Первое делится на 4 нацело по индуктивному допущению, второе содержит множитель 8. Следовательно, сумма также делится на 4. Индуктивный переход доказан.

По теореме получаем справедливость свойства для всех натуральных чисел, что и требовалось доказать.

ЗАДАЧИ

Доказать по методу математической индукции справедливость для натуральных n следующих соотношений:

1)12 + 22 +…+ n2= n(n+1)(2n+1)/6,

2) 13+ 23 +…+ n 3= (1+ 2 +…+ n)2,

3) 72n1+ 6 2n1+ 1кратно 14,

4) 22n–1+ 32n–1 + 1кратно 6,

5) 25n – 52n кратно 7,

6) 1+ q +…+ qn = (1–qn+1)/(1–q)при q ¹ 1.

Способы задания множеств

Для задания множества необходимо как-либо указать его элементы на более широком универсальном множестве U, которое вводится явно, либо о нем можно догадаться из постановки задачи. Используют следующие способы.




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.