Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Основные типы отношений



Рассмотрим наиболее употребительные типы отношений.

Отношение эквивалентности

Данное отношение удовлетворяет следующим трем аксиомам: 1) рефлексивности, 2) симметричности и 3) транзитивности.

Практический смысл отношения эквивалентности заключается в том, что оно разбивает множество, на котором определено, на классы.

Определение. Пусть множество Х разбито на подмножества Х12,..., Хn таким образом, что все они попарно не пересекаются и объединение их равно Х:

1) È Хi = Х, (i =1,...,n);

2)" Х iÎ Х," Х jÎ Х , (i¹j Х i Ç Х j .

В этом случае говорят, что произведено разбиение Х на классы Х1, ... , Хn. Элементы хi и хj множества Х эквивалентны по отношению к его разбиению, если они принадлежат одному и тому же классу Хk.

Замечание.

1. Мощность множества классов эквивалентности может быть как конечной, так и бесконечной (счетной, континуум и т.д.).

2. Смысл понятия эквивалентности в том, что с точки зрения разбиения множества Х элементы хi и хj неразличимы, если попадают в один класс. Обычно отношение эквивалентности обозначают символом « º ».

Определение. Поэлементным будем называть такое разбиение множества на классы эквивалентности, где каждый класс Хi содержит ровно один элемент из Х.

Фиктивным будем называть разбиение в котором выделен один класс Х1, совпадающий со всем Х,(Х1= Х).

Пример 1. Рассмотрим в качестве Х множество натуральных чисел N. Его можно разбить отношением эквивалентности на два непересекающихся класса, дающих в сумме все N: множество четных (делящихся на 2 без остатка) чисел N2 и множество нечетных (делящихся на 2 с остатком 1) чисел N`2. При этом само множество пар отношения будет образовано: а) всеми парами четных чисел; б) всеми парами нечетных чисел. Смешанные пары (четное число с нечетным и наоборот) в него не войдут.

Данное отношение эквивалентности можно задать при помощи предиката Р(х, у) =«х - у кратно 2».

Пример 2. Х = N. Х1 ={1}, Х2 ={2, 3}, Х3 = {4, 5, 6, 7},…, Хi = {множество целых чисел от 2i-1до2i–1}. Выделенные множества Х12, ... не пересекаются, объединение их равно N. Следовательно, они разбивают N на классы. Их число бесконечно. Несложно показать, что ½{ Хi =À0. Множество пар, составляющих отношение, будет следующим: {(1, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6); (4, 7); (5, 4); (5, 5); (5, 6)…}.

Отношение можно задать при помощи предиката, непосредственно задающего структуру классов эквивалентности: Р(х,у)=«2i-1 х, у ≤2i-1, iÎ N».

Пример 3. Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ниже приведены при помощи матриц примеры отношений, реализующих следующие разбиения Х на классы: 1) разбиение: Х1={1,2}, Х2={3}, Х3={4, 5, 6};2) фиктивное: Х1= Х ; 3) поэлементное: Х1={1}, Х2 ={2}, Х3={3}, Х4 = {4}, Х5 ={5}, Х6={6}.

 
+ + - - - -
+ + - - - -
- - + - - -
- - - + + +
- - - + + +
- - - + + +

 

 
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +

 




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.