Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Переводы целых чисел в позиционных системах счисления



С помощью позиционных систем с постоянными основаниями можно представить точно либо приближенно (с любой заданной точностью) любое вещественное число.

Из позиционных систем счисления проще всего двоичная, с основанием 2, где числа записываются с помощью символов из множества Е2={0, 1}. Единица старшего разряда равна двум единицам предшествующего. Для записи числа в этой системе его разлагают по степеням основания 2. Например, для числа 12510 = 1×26 + 1×25 +1×24+ 1×23 + 1×22 + 1×20 = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1. Т. е. двоичная запись числа 12510 имеет вид: 11111012. В силу своей простоты двоичная система нашла широкое применение в различного рода вычислительных и управляющих устройствах, так как для ее физической реализации достаточно обеспечить только два состояния логических элементов: «да — нет», «включено — выключено» и т. д. Двоичная система также служит модельной при исследовании структурных свойств множеств и логических объектов.

4.2.1. Перевод целых чисел из произвольной системы
с постоянным основанием р ¹ 10 в десятичную систему

Для выполнения данногопреобразования применяют развернутую форму представления целых двоичных чисел, т.е. искомое десятичное число представляют в виде суммы цифр числа, умноженных на степени основания p, равные номеру соответствующего разряда. После расчета слагаемых и их суммирования получается искомая десятичная запись числа.

Пример 1. Переведем в десятичную систему двоичное число 11010012.

Решение. Последовательно записываем разложение числа по степеням основания 2 (развернутая форма представления), выражаем полученные степени в десятичной системе и суммируем:

11010012 = 1×26 + 1×25 + 1×23 + 1×20 = 6410 + 3210 + 810 + 110 = 10510.

Пример 2.Перевести в десятичную систему счисления число, представленное в шестнадцатеричной системе счисления как 8DВ416.

Решение. Записываем развернутую форму представления числа по степеням 16, выражаем полученные степени в десятичной системе счисления и суммируем:

8DВ416 =8×163 +D×162 +B×161 +4×160 =8×4096+13×256+
11×16+4=3276810 +332810 +17610 +410 =3627610.

4.2.2. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления
в системы с произвольными постоянными основаниями p ¹ 10

Проще всего разложить десятичное число по степеням основания p последовательным многократным делением его на p. При этом остатки от деления на каждом шаге и самое последнее частное образуют обратную двоичную запись числа.

Пример 3.Перевести в двоичную систему число 2310.

Решение. Последовательно делим заданное число и его частные на 2, выделяя подчеркиванием остатки от деления на каждом шаге и самое последнее частное:

23 ½ 2

22 ½ 11 ½ 2

110 ½ 5 ½ 2

14 ½ 2 ½ 2

12 ½ 1

0

Двоичную запись числа получаем, располагая подчеркнутые числа в обратном порядке: 2310 =101112.

Пример 4. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления число 815010.

Решение. Последовательно делим число и его частные на 16, выделяя остатки от деления и самое последнее частное:

8150 ½ 16

8144 ½ 509 ½ 16

6496 ½ 31 ½ 16

1316 ½ 1

15

Искомую запись числа получаем, переводя все подчеркнутые числа в шестнадцатеричную систему счисления (1310 =D16,1510 =F16) и располагая их в обратном порядке: 815010 =1FD616.

Пример 5. Перевести в систему счисления с основанием p = 7 число 516210.

Решение. Последовательно делим число и его частные на 7, выделяя остатки от деления и самое последнее частное:

5162 ½ 7

5159 ½ 737 ½ 7

3735 ½ 105 ½ 7

2105 ½ 15 ½ 7

014 ½ 2

1

Запись числа в системе p = 7 получаем, располагая все подчеркнутые числа в обратном порядке: 516210 = 210237.

4.2.3. Перевод целого числа из системы счисления
с основанием p = 2s в двоичную систему счисления

Данные преобразования являются одними из наиболее распространенных при анализе числовой информации. Переходы между системами счисления с основаниями вида p = 2s, являющимися степенями 2, проще (с наименьшим числом операций) выполнять через двоичную систему. Для быстрого перевода числа из системы с p = 2s в двоичную все значащие цифры числа (в том числе и 0), стоящие в разрядах числа, заменяют их двоичными записями длины s. Если в самых старших разрядах записи (слева) оказались стоящие подряд нули, их можно отбросить, как незначащие.

Пример 6. Перевести в двоичную систему счисления число, представленное в восьмеричной системе счисления: 30768.

Решение. Так как 8=23, то s = 3. Представляя по очереди цифры в разрядах числа их двоичными записями длины s = 3, получим: 38 =0112, 08 =0002,78 =1112,68 =1102.

Соединяя полученные двоичные выражения и отбрасывая незначащий нуль в первой записи, получим искомый ответ: 30768 =110001111102.

Пример 7. Перевести в двоичную систему счисления число, представленное в шестнадцатеричной системе счисления как 2А0D16.

Решение. 16=24, s = 4. Все цифры в разрядах числа поочередно заменяем их двоичными записями длины s = 4:

216 =00102,А16 =10102,016 =00002,D16 =11012.

Соединяя полученные двоичные выражения и отбрасывая незначащие нули в первой записи, получим: 2А0D16 =101010000011012.

4.2.4. Перевод целого числа из двоичной системы счисления
в систему с основанием p = 2s

При переводе целого числа все его цифры в разрядах двоичной записи числа, начиная с младших (стоящих справа), разбивают на группы длины s. Если последняя группа получилась длины, меньшей s, ее спереди дополняем незначащими нулями. Затем двоичные числа в полученных группах заменяют цифрами в системе с основанием p = 2s и объединяют в одну запись, которая и является искомым выражением.

Пример 8.Перевести в шестнадцатеричную систему счисления двоичное число 10110100112.

Решение. 16=24, s =4. Разбиение на группы длины s = 4 с дополнением первой группы из двух цифр двумя незначащими нулями дает следующие двоичные числа: 0010,1101,0011.

Заменяем их числами в шестнадцатеричной системе счисления: 00102 =216,11012 =D16,00112 =316 и записываем слитно. В итоге получаем искомую запись числа: 10110100112 =2D316.

Пример 9.Перевести в четверичную систему счисления двоичное число 111011110002.

Решение. 4=22, s = 2. Разбиение на группы длины s = 2 с дополнением первой группы одним незначащим нулем дает следующие двоичные числа: 01,11,01,11,10,00.

Заменяем их числами в четверичной системе счисления: 012 =14,112 =34,012 =14,112 =34,102 =24,002 =04 и записываем слитно. В итоге получаем искомую четверичную запись числа: 111011110002 =1313204.




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.