Решение.

1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня DE (рис. С 2, б). Проведем координатные оси ХY и изобразим действующие на стержень силы: силу F, реакцию N, направленную перпендикулярно стержню, и составляющие X_D и Y_D реакции шарнира D. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

;

;

.

2. Рассмотрим равновесие угольника (рис. С 2, в).На него действуют сила давления стержня N', направленная противоположно реакции N, равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой Q, приложенной в середине участка KB (численно Q=q·4a=16 кН), пара сил с моментом М и реакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими Х_А, Y_А, ипары с моментом М_А. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

;

;

.

При вычислении момента силы N' разлагаем её на составляющие N^/₁и N^/₂и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений, найдем искомые реакции. При решении учитываем, что численно N'=N всилу равенства действия и противодействия.

Ответ: N= 21,7 кН, Y_D= –10,8 кН; X_D= 8,8 кН, Х_А= –26,8 кН, Y_A= 24,7 кН, М_А= -42,6 кН×м. Знаки указывают, что силы Y_D, Х_А и момент М_А направлены противоположно показанным на рисунках.

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения.

Задача К 1а.

Точка В движется в плоскости ху (рис. К 1.0 – К 1.9, табл. К 1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х=f₁(t), у=f₂(t), где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1 с, определить скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость х=f₁(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у=f₂(t) дана в табл. К 1 (для рис. 0-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4). Как и в задачах C 1-С 4, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра; а номер условия в табл. К 1-по последней.

Задача К 1б.

Точка движется по дуге окружности радиуса R=2м по закону s=f(t), заданному в табл. К 1 в столбце 5 (s – в метрах, t – в секундах), где s=AM – расстояние точки от некоторого начала А, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t₁=1 с. Изобразить на рисунке векторы υ и a, считая, что точка в этот момент находится в положении М, а положительное направление отсчета s-от А к М.

Пример К 1а.По заданным уравнениям движения точки М в координатной форме определить: траекторию её движения в заданный момент времени t=1c, найти скорость и ускорение.

(см),

(см).

Решение:

1. Определим траекторию движущейся точки М.

Для получения уравнения траектории движущейся точки исключим из заданных уравнений параметр времени t:

,

.

Полученные уравнения возведем в квадрат и суммируем:

.

Таким образом,

.

Данное выражение представляет собой траекторию движущейся точки М – уравнение эллипса с центром в точке с координатами (9; -4). Построим траекторию в координатных осях ху (рис.9).

Укажем положение точки М на траектории в заданный момент времени, для этого подставим время t=1с, в уравнения:

см,

см.

Тогда точка М с координаты (12; -1,4).

Для указания положительного отсчета по траектории определим положение точки М в начальный момент времени при t=0 с.

см,

см.

Тогда точка М₀ имеет координаты (15; - 4).

Точки М и М₀ принадлежат траектории эллипса, следовательно, решение верно.

Направление положительного отсчета по траектории идёт от точки М₀ в момент времени t =0 c, к точке М, когда t =1 с (против движения часовой стрелки).

2. Определим скорость точки М в заданный момент времени t.

Известно, что скорость можно разложить по проекциям на координатные оси:

.

Определим проекцию скорости точки М на ось Ох:

.

В заданный момент времени t =1 с, проекция скорости составит:

см/с.

Так, как V_x= -10,9<0, то вектор скорости направлен из точки М параллельно оси Ох в сторону отрицательных значений х, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе скоростей, указанных на схеме.

Определим проекцию скорости точки М на ось Оу:

.

В заданный момент времени t =1 с, проекция скорости составит:

см/с.

Так, как V_y=3,14>0, то вектор скорости направлен из точки М параллельно оси Оу в сторону положительных значений у, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор .

Геометрическая сумма векторов и (по правилу параллелограмма) представляет собой вектор скорости точки М в заданный момент времени, этот вектор должен быть направлен по касательной τ к траектории движения (рис.10). Численное значение скорости можно измерить, согласно указанному масштабу для векторов скоростей, либо определить по теореме Пифагора (так как вектора и взаимно перпендикулярны):

см/с.

3. Определим ускорение точки М в заданный момент времени t.

Известно, что ускорение можно разложить по проекциям на координатные оси:

.

Определим проекцию ускорения точки М на ось Ох:

.

В заданный момент времени t =1с, проекция ускорения составит:

см/с².

Так, как <0, то вектор ускорения направлен из точки М параллельно оси Ох в сторону отрицательных значений х, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе ускорений, указанного на схеме.

Определим ускорение скорости точки М на ось Оу:

.

В заданный момент времени t = 1с, проекция ускорения составит:

см/с².

Так, как <0, то вектор ускорения направлен из точки М параллельно оси Оу в сторону отрицательных значений у, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор .

Геометрическая сумма векторов и (по правилу параллелограмма) представляет собой вектор ускорения точки М в заданный момент времени:

см/с².

Определим касательное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная проекции скорости и ускорения на оси координат:

см/с².

Так, как , то вектор ускорения направлен из точки М по касательной к траектории движения в сторону направления вектора скорости (движение точки будет ускоренным), данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений.

Определим нормальное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная полное и касательное ускорения:

см/с².

Вектор ускорения направлен из точки М по нормали п к траектории движения к центру кривизны траектории, данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений.

Так, как векторная сумма ускорений справедлива, то решение верно.

Определим радиус кривизны траектории в заданный момент времени c учетом нормального (центростремительного) ускорения в заданный момент времени:

см.

Пример К 1б.Точка движется по дуге окружности радиуса R=2 м по закону (s-в метрах, t-в секундах), где s-AM (рис. К 1б). Определить скорость и ускорение точки в момент времени t₁=1 с.