Пример К4а.

Дано: R=0,5 м, j=t²–0,5t³, s=πRcos(πt/3) (j – в радианах, s – в метрах, t – в секундах).

Определить: V_абс и а_абс в момент времени t₁=2 с.

Решение.Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины переносным движением. Тогда абсолютная скорость V_абс и абсолютное ускорение а_абс точки найдутся по формулам:

= + ,

= + + ,

где, в свою очередь, = + , = + .

Рис. К4а

Определим все, входящие в равенства, величины. Рассмотрим каждое движение в отдельности.

1. Относительное движение (мысленно остановить вращение пластины вокруг опоры О). Это движение происходит по закону .

Положение точки В на дуге окружности в момент времени t₁=2 с:

.

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t₁=2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К4а в этом положении (точка B₁).

Тогда .

Теперь находим числовые значения V_отн, а^t_отн, аⁿ_отн:

;

,

где ρ – радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента t₁=2 с, учитывая, что R=0,5 м, получим:

;

.

Знаки показывают, что вектор а^t_отн направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор V_отн-в противоположную сторону; вектор аⁿ_отн направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. К4а.

2. Переносное движение (мысленно остановить движение точки по окружности). Это движение (вращение) происходит по закону j=t² – 0,5t³. Найдем угловую скорость w и угловое ускорение ε переносного вращения при t₁=2 с:

Знаки указывают, что в момент t₁=2 с направления w и ε противоположны направлению положительного отсчета угла j; отметим это на рис. К4а.

Для определения V_пер и а_пер находим сначала расстояние h₁=ОВ₁ точки B₁ от оси вращения О. Из рисунка видно, что . Тогда в момент времени t₁=2 с получим:

;

.

Изображаем на рис. К4а векторы V_пер и a^t_перс учетом направлений w и εи вектор аⁿ_пер (направлен к оси вращения).

3. Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле:

,

где a – угол между вектором V_отн и осью вращения (вектором w). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор V_отн. Тогда в момент времени t₁=2 с, учитывая, что в этот момент |V_отн|=1,42 м/с и |w|=2 с^-1, получим

а_кор=5,68 м/с².

Направление а_корнайдем по правилу Н. Е. Жуковского: так как вектор υ_отнлежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90⁰ в направлении ώ, т. е. по ходу часовой стрелки. Изображаем а_кор на рис. К4а. [Иначе направление а_кор можно найти, учтя, что а_кор=2(ώ*υ_отн)].

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (1) векторов найдены и для определения υ_абс и а_абс остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.

4. Определение υ_а6с. Проведем координатные оси B₁xy (см. рис. К4а) и спроектируем почленно обе части равенства

υ_абс=υ_отн+υ_перна эти оси. Получим для момента времени t₁=2 с;

После этого находим

Учитывая, что в данном случае угол между υ_отн и υ_перравен 45°, значение υ_абсможно еще определить по формуле

5. Определение а_абс.По теореме о сложении ускорений

Для определения а_абс спроектируем обе части равенства (7) на проведенные оси B₁xy. Получим

Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени t₁=2 с, найдем, что в этот момент

а_абсх=9,74 м/с²; а_авсу=7,15 м/с²

Тогда

Ответ: υ_а6с=3,95 м/с, а_абс=12,08 м/с².