Дано: R=0,5 м, j=t2–0,5t3, s=πRcos(πt/3) (j – в радианах, s – в метрах, t – в секундах).
Определить: Vабс и аабс в момент времени t1=2 с.
Решение.Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины переносным движением. Тогда абсолютная скорость Vабс и абсолютное ускорение аабс точки найдутся по формулам:
= + ,
= + + ,
где, в свою очередь, = + , = + .
Рис. К4а
Определим все, входящие в равенства, величины. Рассмотрим каждое движение в отдельности.
1. Относительное движение (мысленно остановить вращение пластины вокруг опоры О). Это движение происходит по закону .
Положение точки В на дуге окружности в момент времени t1=2 с:
.
Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t1=2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К4а в этом положении (точка B1).
Тогда .
Теперь находим числовые значения Vотн, аtотн, аnотн:
;
,
где ρ – радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента t1=2 с, учитывая, что R=0,5 м, получим:
;
.
Знаки показывают, что вектор аtотн направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор Vотн-в противоположную сторону; вектор аnотн направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. К4а.
2. Переносное движение (мысленно остановить движение точки по окружности). Это движение (вращение) происходит по закону j=t2 – 0,5t3. Найдем угловую скорость w и угловое ускорение ε переносного вращения при t1=2 с:
Знаки указывают, что в момент t1=2 с направления w и ε противоположны направлению положительного отсчета угла j; отметим это на рис. К4а.
Для определения Vпер и апер находим сначала расстояние h1=ОВ1точки B1 от оси вращения О. Из рисунка видно, что . Тогда в момент времени t1=2 с получим:
;
.
Изображаем на рис. К4а векторы Vпер и atперс учетом направлений w и εи вектор аnпер (направлен к оси вращения).
3. Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле:
,
где a – угол между вектором Vотн и осью вращения (вектором w). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор Vотн. Тогда в момент времени t1=2 с, учитывая, что в этот момент |Vотн|=1,42 м/с и |w|=2 с-1, получим
акор=5,68 м/с2.
Направление акорнайдем по правилу Н. Е. Жуковского: так как вектор υотнлежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 900 в направлении ώ, т. е. по ходу часовой стрелки. Изображаем акор на рис. К4а. [Иначе направление акор можно найти, учтя, что акор=2(ώ*υотн)].
Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (1) векторов найдены и для определения υабс и аабс остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.
4. Определение υа6с. Проведем координатные оси B1xy (см. рис. К4а) и спроектируем почленно обе части равенства
υабс=υотн+υперна эти оси. Получим для момента времени t1=2 с;
После этого находим
Учитывая, что в данном случае угол между υотн и υперравен 45°, значение υабсможно еще определить по формуле
5. Определение аабс.По теореме о сложении ускорений
Для определения аабс спроектируем обе части равенства (7) на проведенные оси B1xy. Получим
Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени t1=2 с, найдем, что в этот момент