Пример К4б.

Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z по закону j = f₁(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К4б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка Впо закону s = АВ = f₂(t); положительное направление отсчета s – от А к D.

Дано: j = 0,1× t³–2,2× t, s = АВ = 2 + 15× t – 3×t²; (j – в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Определить: V_абс и а_абс в момент времени t₁ = 2 с.

Решение. Рассмотрим движение точки В, как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:

= + , = + + ,

где, в свою очередь, = + .

Определим все входящие в равенство величины.

1. Относительное движение - это движение прямолинейное и происходит по закону

s = AB = 2 + 15t - 3t²,

поэтому

В момент времени t₁ = 2 с имеем

s₁ = AB₁ = 20 cм, V_отн = 3 см/с, а_отн = - 6 см/с²

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. К4б.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону

j = 0,1×t³ - 2,2t.

Найдем угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения:

w = = 0,3t² - 2,2; e = = 0,6t и при t₁ = 2 с,

w = - 1 c^-1, e = 1,2 c^-2.

Знаки указывают, что в момент t₁ = 2 с направление e совпадает с направлением положительного отсчета угла j, а направление w ему противоположно; отметим это на рис. К3б соответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние h₁ точки В₁ от оси вращения z:

h₁ = AB₁× sin 30° = 10 см. Тогда в момент t₁ = 2 с, учитывая равенства (68), получаем:

V_пер = |w|×h₁ = 10 cм/с,

= |e|×h₁ = 12 см/с², = w²×h₁ = 10 см/с².

Изобразим на рис. К4б векторы и (с учетом знаков w и e)и ; направлены векторы и перпендикулярно плоскости ADE, а вектор – по линии В₁С к оси вращения.

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 30°, то численно в момент времени t₁ = 2с

а_кор = 2×|V_отн| × |w| × sin 30° = 3 см/с².

Направление найдем по правилу Н. Е. Жуковского. Для этого вектор спроецируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору ) и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону w, т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор (см. рис. К3б).

4. Определение V_абс. Так как = + , а векторы и взаимно перпендикулярны, то ; в момент времени t₁ = 2 с V_абс = 10,44 см/с.

5. Определение а_абс. По теореме о сложении ускорений

= + + + .

Для определения а_абс проведем координатные оси В₁хуz₁ и вычислим проекции на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на оси х₁, а векторы и расположены в плоскости В₁хуz₁, т. е. в плоскости пластины. Тогда, проецируя обе части равенства (71) на оси В₁хуz₁ и учтя одновременно равенства (67), (69), (70), получаем для момента времени t₁ = 2 с:

а_{абс х} = | | – а_кор = 9 см/с²,

а_{абс у} = + |а_отн|×sin 30 ° = 13 см/с²,

а_{абс z} = |а_отн|×cos 30 ° = 5,20 см/с².

Отсюда находим значение а_абс:

см/с².

Ответ: V_абс = 10,44 см/с, а_абс = 16,64 см/с².

Задача Д1.

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость V₀.движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 —Д1.9, табл. Д1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления cреды R. зависящая от скорости V груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения

(коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой F_x на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=l или

время t движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х = x(t). где х = ВD.