Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z по закону j = f1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К4б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка Впо закону s = АВ = f2(t); положительное направление отсчета s – от А к D.
Дано: j = 0,1× t3–2,2× t, s = АВ = 2 + 15× t – 3×t2; (j – в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Определить: Vабс и аабс в момент времени t1 = 2 с.
Рис. К4б
Решение. Рассмотрим движение точки В, как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:
= + , = + + ,
где, в свою очередь, = + .
Определим все входящие в равенство величины.
1. Относительное движение - это движение прямолинейное и происходит по закону
s = AB = 2 + 15t - 3t2,
поэтому
В момент времени t1 = 2 с имеем
s1 = AB1 = 20 cм, Vотн = 3 см/с, аотн = - 6 см/с2
Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. К4б.
2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону
j = 0,1×t3 - 2,2t.
Найдем угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения:
w = = 0,3t2 - 2,2; e = = 0,6t и при t1 = 2 с,
w = - 1 c-1, e = 1,2 c-2.
Знаки указывают, что в момент t1 = 2 с направление e совпадает с направлением положительного отсчета угла j, а направление w ему противоположно; отметим это на рис. К3б соответствующими дуговыми стрелками.
Из рисунка находим расстояние h1 точки В1 от оси вращения z:
h1 = AB1× sin 30° = 10 см. Тогда в момент t1 = 2 с, учитывая равенства (68), получаем:
Vпер = |w|×h1 = 10 cм/с,
= |e|×h1 = 12 см/с2, = w2×h1 = 10 см/с2.
Изобразим на рис. К4б векторы и (с учетом знаков w и e)и ; направлены векторы и перпендикулярно плоскости ADE, а вектор – по линии В1С к оси вращения.
3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 30°, то численно в момент времени t1 = 2с
акор = 2×|Vотн| × |w| × sin 30° = 3 см/с2.
Направление найдем по правилу Н. Е. Жуковского. Для этого вектор спроецируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору ) и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону w, т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор (см. рис. К3б).
4. Определение Vабс. Так как = + , а векторы и взаимно перпендикулярны, то ; в момент времени t1 = 2 с Vабс = 10,44 см/с.
5. Определение аабс. По теореме о сложении ускорений
= + + + .
Для определения аабс проведем координатные оси В1хуz1 и вычислим проекции на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на оси х1, а векторы и расположены в плоскости В1хуz1, т. е. в плоскости пластины. Тогда, проецируя обе части равенства (71) на оси В1хуz1 и учтя одновременно равенства (67), (69), (70), получаем для момента времени t1 = 2 с:
аабс х = | | – акор = 9 см/с2,
аабс у = + |аотн|×sin 30 ° = 13 см/с2,
аабс z = |аотн|×cos 30 ° = 5,20 см/с2.
Отсюда находим значение аабс:
см/с2.
Ответ: Vабс = 10,44 см/с, аабс = 16,64 см/с2.
Задача Д1.
Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость V0.движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 —Д1.9, табл. Д1).
На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления cреды R. зависящая от скорости V груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.
В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения
(коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице.
Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=l или
время t движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х = x(t). где х = ВD.