Пример Д1.

На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой т действуют сила тяжести и сила сопротивления R; расстояние от точки А, где υ=υ₀, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F=F(t), заданная в ньютонах.

Дано: m=2 кг, R=mυ²,где m=0,4 кг/м, υ₀=5 м/с, l=2,5 м, Fx=16sin(4t).

Определить: х=f(t)-закон движения груза на участке ВС.

Решение.1.Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р=mg и R. Проводим ось Аz и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

Далее находим Р_z=Р=mg, R_z=-R=-mυ², подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят.Учтя еще, что υ_z=υ, получим

Введем для сокращения записей обозначения

где при подсчете принято g=10 м/с². Тогда уравнение (2) можно представить в виде

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим

По начальным условиям при z=0 υ=υ₀, что дает С₁=ln(υ²₀-п) и из равенства (5) находим ln(υ²-п) =-2kz+ln(υ²₀-п) или 1n(υ²-п)-ln (υ²₀-n)=-2kz. Отсюда

В результате находим

Полагая в равенстве (6) z=l= 2,5 м и заменяя k и п их значениями (3), определим скорость υ_B груза в точке В (υ_о=5 м/с, число е=2,7):

2. Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС; найденная скорость υ_В будет для движения на этом участке начальной скоростью (υ₀=υ_В). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р=mg,N,F_тр и F. Проведем из точки В оси Вх и By и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх:

или

где F_тp=f×N. Для определения N составим уравнение в проекции на ось B_y. Так как а_у=0, получим 0=N-mg×cosa, откуда N=mg×cosa. Следовательно, F_тр=fmg×cosa; кроме того, F_x=16sin(4t) и уравнение (8) примет вид

Разделив обе части равенства на т, вычислим g(sina-f×cosa)=g(sin30°-0,2cos30°)=3,2; и подставим эти значения в (9). Тогда получим

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

υ_x=3,2t-2cos(4t)+C₂

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t=0. Тогда при t=0 υ=υ₀=υ_B, где υ_B даётся равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим

C₂=υ_B+2cos0=6,4+2=8,4

При найденном значении С₂ уравнение (11) дает

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем

x=1,6t²+8,4t+C₃

Так как при t=0 х=0, то С₃=0 и окончательно искомый закон движения груза будет

x=1,6t²+8,4t+0,5sin(4t)

где х-в метрах, t-в секундах.

Задача Д2.

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3с радиусами ступеней R₃=0,3 м, r₃=0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ₃=0,2 м, блока 4радиуса R₄=0,2 м и катка (илиподвижного блока) 5 (рис. Д6.0-Д6.9, табл. Д6); тело 5считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4-равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f=0,1.Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3(или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s₁=0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы, где обозначено: υ₁, υ₂, υ_C5-скорости грузов 1, 2 ицентра масс тела 5 соответственно, ώ₃ и ώ₄-угловые скорости тел 3и 4.

Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5на рис. 2), катятся по плоскостям без скольжения.

На всех рисунках не изображать груз 2, если т₂=0; остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.

Поиск по сайту: