Решение.

1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 иневесомых тел 2, 4,соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные F, F_упр, Р₁, Р₃, Р₅, реакции N₁, N₃, N₄, N₅, натяжение нити S₂, силы трения F₁^тр, F₅^тр и момент М.

Для определения ώ₃ воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

2. Определяем То и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т₀=0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:

Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5-поступательно, а тело 3вращается вокруг неподвижной оси, получим

Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую ώ₃.Для этого предварительно заметим, что υ_c1=υ₅=υ_А, где А-любая точка обода радиуса r₃ шкива 3и что точка K₁-мгновенный центр скоростей катка 1, радиус которого обозначим r₁. Тогда

Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения

Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3), а затем, используя равенство (2), получим окончательно

3. Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр катка 1 пройдет путь s₁. Введя обозначения: s₅-перемещение груза 5 (s₅=s₁), j₃-угол поворота шкива 3, λ₀и λ₁-начальное и конечное удлинения пружины, получим

Работы остальных сил равны нулю, так как точки K₁и К₂, где приложены силы N₁ F^тр₁и S₂-мгновенные центры скоростей; точки, где приложены силы Р₃, N₃и Р₄-неподвижны; а реакция N₅перпендикулярна перемещению груза.

По условиям задачи, λ₀=0. Тогда λ₁=s_Е, где s_Е-перемещение точки Е (конца пружины). Величины s_Eи j₃ надо выразить через заданное перемещение s₁; для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями. Тогда так как (равенство υ_С1=υ_Aуже отмечалось), то и .

Далее, из рис. Д6, б видно, что υ_D=υ_B=ώ₃R₃, а так как точка К₂является мгновенным центром скоростей для блока 2(он как бы «катится» по участку нити K₂L), то υ_E=0,5υ_D=0,5ώ₃R₃; следовательно, иλ₁=s_E=0,5j₃R₃=0,5s₁R₃/r₃. При найденных значениях j₃ и λ₁для суммы вычисленных работ получим

Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что Т₀=0, придем к равенству

Из равенства (8), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость ώ₃.

Ответ: ώ₃=8,1 с^-1.

Задача Д8.

Вертикальный вал АК (рис. Д8.0-Д8.9), вращающийся с постоянной угловой скоростью ώ=10 с^-1 , закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д8 в столбце 2 (АВ=BD=DE=ЕК=а). К валу жестко прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой т=10 кг, состоящий из частей 1и 2(размеры частей стержня показаны на рисунках, где b=0,1 м, а их массы m₁и m₂ пропорциональны длинам), и невесомый стержень длиной l=4b сточечной массой т₃=3 кг на конце; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы a, β, γ, j даны в столбцах 5-8. Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять а=0,6 м.