1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 иневесомых тел 2, 4,соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные F, Fупр, Р1, Р3, Р5, реакции N1, N3, N4, N5, натяжение нити S2, силы трения F1тр, F5три момент М.
Для определения ώ3 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:
2. Определяем То и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т0=0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:
Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5-поступательно, а тело 3вращается вокруг неподвижной оси, получим
Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую ώ3.Для этого предварительно заметим, что υc1=υ5=υА, где А-любая точка обода радиуса r3шкива 3и что точка K1-мгновенный центр скоростей катка 1, радиус которого обозначим r1. Тогда
Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения
Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3), а затем, используя равенство (2), получим окончательно
3. Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр катка 1 пройдет путь s1. Введя обозначения: s5-перемещение груза 5 (s5=s1), j3-угол поворота шкива 3, λ0и λ1-начальное и конечное удлинения пружины, получим
Работы остальных сил равны нулю, так как точки K1и К2, где приложены силы N1 Fтр1и S2-мгновенные центры скоростей; точки, где приложены силы Р3, N3и Р4-неподвижны; а реакция N5перпендикулярна перемещению груза.
По условиям задачи, λ0=0. Тогда λ1=sЕ, где sЕ-перемещение точки Е (конца пружины). Величины sEи j3 надо выразить через заданное перемещение s1; для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями. Тогда так как (равенство υС1=υAуже отмечалось), то и .
Далее, из рис. Д6, б видно, что υD=υB=ώ3R3, а так как точка К2является мгновенным центром скоростей для блока 2(он как бы «катится» по участку нити K2L), то υE=0,5υD=0,5ώ3R3; следовательно, иλ1=sE=0,5j3R3=0,5s1R3/r3. При найденных значениях j3 и λ1для суммы вычисленных работ получим
Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что Т0=0, придем к равенству
Из равенства (8), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость ώ3.
Ответ: ώ3=8,1 с-1.
Задача Д8.
Вертикальный вал АК (рис. Д8.0-Д8.9), вращающийся с постоянной угловой скоростью ώ=10 с-1 , закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д8 в столбце 2 (АВ=BD=DE=ЕК=а). К валу жестко прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой т=10 кг, состоящий из частей 1и 2(размеры частей стержня показаны на рисунках, где b=0,1 м, а их массы m1и m2 пропорциональны длинам), и невесомый стержень длиной l=4b сточечной массой т3=3 кг на конце; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы a, β, γ, j даны в столбцах 5-8. Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять а=0,6 м.