Решение.

1. Изображаем (с учетом заданных углов) вал и прикрепленные к нему в точках В и Е стержни (рис. Д8,б). Массы и веса частей 1 и 2ломаного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равны m₁=0,6m; m₂=0,4m;

P₁=0,6mg; P₂=0,4mg; P₃=m₃g

2. Для определения искомых реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси А_ху так, чтобы стержни лежали в плоскости ху, и изобразим действующие на систему силы: активные силы-силы тяжести Р₁, Р₂, Р₃и реакции связей оставляющие реакции подпятника Х_А, Y_А и реакцию цилиндрического подшипника несогласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения а_nk , направленные к оси вращения, а численно а_nk=ώ²h_k и, где h_k-расстояния элементов от оси вращения. Тогда силы инерции F^и_к будут направлены от оси вращения, а численно , где —масса элемента. Так как все F^и_к пропорциональны h_k, то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1треугольник, а для части 2-прямоугольник (рис. Д8,б).

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение R^и=та_с, где т-масса тела, а_с-ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим

Сила инерции точечной массы 3должна быть направлена в сторону, противоположную ее ускорению и численно будет равна

Ускорения центров масс частей 1 и 2стержня и груза 3равны:

где h_C1, h_C2-расстояния центров масс частей стержня от оси вращения, а h₃-соответствующее расстояние груза:

Подставив в (2) и (3) значения (4) и учтя (5), получим числовые значения R^и₁ , R^и₂ и F^и₃

При этом линии действия равнодействующих R_и1и R_и2 пройдут через центры тяжестей соответствующих эпюр сил инерции. Так, линиядействия R_и1проходит на расстоянии от вершины треугольника Е, где Н=6bcos30°.

3. Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия. Получим

где H₁, H₂, Н₃-плечи сил R^и₁, R^и₂, F^и₃относительно точки А, равные (при подсчетах учтено, что Н=6bcos30°=0,52 м)

Подставив в уравнения (7) соответствующие величины из равенств (1), (5), (6), (8) и решив эту систему уравнений (7), найдем искомые реакции.

Ответ: Х_А=-33,7 Н; Y_A=117,7 Н; R_D=-45,7. Н.

Задача Д10.

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3-6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока (рис. Д10.0-Д10.9, табл. Д10). Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной к одному из шкивов. Радиусы ступеней шкива 1 равны: R₁=0,2 м, r₁=0,1 м, а шкива 2-R₂=0,3 м, r₂=0,15 м; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно ρ₁=0,1 м и ρ₂=0,2 м.

Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего больший вес; веса P₁,…, Р₆шкивов и грузов заданы в таблице в ньютонах. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать (шкивы 1, 2изображать всегда как части системы).