Мои Конспекты
Главная | Обратная связь

...

Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Метод наименьших квадратов





Помощь в ✍️ написании работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Надежным и научно обоснованным способом определения коэффициентов экспериментальных зависимостей является метод наименьших квадратов. Суть его заключается в подборе таких значений коэффициентов, при которых сумма квадратов отклонений измеренных в эксперименте значений уi (i=I, 2, 3, ...n) от искомой кривой у = ах + b была бы минимальна.

Найдем сумму квадратов отклонений

 

 

Под знаком суммирования раскроем квадрат. В результате получим

 
 

 


Значения у1, у2, у3,… уп и х1, х2, х3,… хп - фиксированные эксперимен­тальные данные. Поэтому сумма квадратов отклонений S зависит только от значений коэффициентов a и b. Таким образом, сумма квадратов отклонений является функцией двух независимых переменных а и b. Для нахождения минимума функции S(a, b) необходимо приравнять к нулю ее частные производные по a и по b:

 
 

 

 


Полученные выражения позволяют вписать систему уравнений для отыскания «наилучших» значений коэффициентов a и b в виде

 
 

 

 


Решал эту систему. Находим

 

 
 

 

 


Рассмотрим применение данного метода на том же примере, что и графический метод. Для удобства данные представим в виде таблицы 4, дополнительно вычислив значения необходи­мые для расчета величин Sxy и Sxx. Число измерений n= 14.

Таблица4

x у х2 ху
0,4 3,5 0,16 1,4
1,5 4,1 2,25 6,15
2,5 4,9 6,25 12,25
3,5 5,3 12,25 18,55
4,6 5,3 21,16 24,38
5,5 6,4 30,25 35,2
6,5 7,2 42,25 46,8
7,5 7,5 56,25 56,25
8,4 7,9 70,56 66,36
9,5 8,.9 90,25 84,55
10,7 9,1 114,49 97,37
11,7 10,6 136,89 124,02
13,5 11,1 182,25 149,85
Sx = 98,8 Sy = 102,8 Sxx = 934,26 Sxy = 866,13

 

Рассчитаем все необходимые суммы:

Sx = 98,8; Sxx = 934,26; Sxy = 866,13; Sy = 102,8. Учитывая, что число измерений n= 14, получим систему равне­ний:

 
 

 

 


тогда

 

 

 
 

 


Получили следующее уравнение прямой: у=0,5934х + 3,1548.

Как видно. метод наименьших квадратов достаточно громоздок. Поэтому его применение становится наиболее эффективным при использовании вычислительной техники.

Метод наименьших квадратов также применяется и при построе­нии нелинейных зависимостей. Например, при получении коэффициентов квадратичной зависимости вида необходимо найти минимальное значение суммы квадратов S вида

 

 

В результате для нахождения коэффициентов а. Ь. с необходимо решить систему уравнений.

 
 

 

 


Использование современных специализированных компьютерных программ (например, MS Excel) позволяет строить по методу наименьших квадратов и более сложные зависимости.

Доверь свою работу ✍️ кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.