Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Пуассоновские потоки заявок



 

3.1. Непрерывные и дискретные случайные величины

 

Рис. 3.1 Случайный поток заявок

 

J - непрерывная случайная величина, которая может принимать любые (в частном случае) положительные значения.

Рис. 3.2 Гистограмма

 

Предположим, что проведено N измерений величины Jk, k=1,2..N.. Число n(J, DJ) показывает, сколько раз интервал времени Jk попал в интервал от J до (J +DJ).

Величина n(J, DJ)/N показывает долю измерений, в которых величина Jk находится в пределах интервала J£Jk£(J+DJ). В случае стационарного процесса, при увеличении числа измерений, это отношение стремится к постоянному значению, определяющему вероятность попадания величины Jk в интервал J£Jk£(J+DJ).

, (3.1)

Определим плотность вероятности, приходящуюся на единицу интервала DJ. Не трудно заметить, что величина n(J, DJ) уменьшается пропорционально уменьшению интервала DJ. Поэтому, плотность распределения вероятностей стремится к своему предельному значению (3.2).

, (3.2)

Вероятность того, что J£t определяет функцию распределения вероятностей (3.3).

, (3.3)

Если поток заявок представленных на рис. 3.1 является простейшим (удовлетворяется условие стационарности и отсутствия взаимного влияния заявок), то плотность распределения интервалов между соседними заявками определяется соотношением (3.4), где выражение (3.5) - математическое ожидание (первый начальный момент интервалов между заявками), (3.6) - второй начальный момент, (3.7) - DJ - дисперсия случайной величины J.

Для простейшего потока заявок справедливо соотношение (3.8).


 

, (3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)

Величина l, обратная , представляет среднее число заявок, поступающих в единицу времени, и называется параметром интенсивности потока.

Поток, представленный на рис. 3.1 можно охарактеризовать другой случайной величиной - n(t), которая представляет случайное число заявок, поступающих в течении постоянного времени t. Для стационарного потока, расположение интервала t на оси времени не имеет значения. Величина n(t) является дискретной, ni(t)=0,1,2 целые числа. На рис. 3.3 ось времени разбита на равные интервалы t и указаны числа заявок ni(t), попавшие в указанные интервалы.

 

Рис. 3.3

 

Интервалы, содержащие одинаковые числа заявок объединяются в группы и определяются числа элементов в каждой группе. Так, например, группа, содержащая по 3 заявки, включает 4 элементарных интервала t, а группа, содержащая 4 заявки, состоит из двух элементов. Группы, содержащие по 5 и более заявок, отсутствуют, т.е. содержат 0 элементов.

Числа заявок ni(t), поступивших за интервалы времени и числа ki(t) в каждой из групп показаны в таблице 4.

Таблица 4.

Число элементов в группе ki(t)
Число заявок на интервале ni(t)

 

На рис.3.4 показана соответствующая гистограмма

Рис. 3.4 Гистограмма

 

Обозначим суммарное число элементов, содержащееся во всех группах, через K(t) и назовем его нормирующим коэффициентом.

, (3.9)

 

Вероятности поступления в течении интервала времени t ровно n(t) заявок, определяются соотношением Pn(t)=kn(t)/K(t). В рассматриваемом интервале K(t)=10, а соответствующее распределение вероятностей показано на рис. 3.5.

Рис. 3.5 Распределение вероятностей числа заявок на интервале t

 

Очевидно, что сумма значений всех вероятностей равна единице.

Функция распределения вероятностей Fn(t) определяет вероятность того, что число заявок i поступивших в течение интервала времени t, окажется меньше или равно n.

, (3.10)

Естественно, что указанная вероятность, при достаточно большом значении числа заявок n, стремится к единице.

Для случайной переменной n(t) определим математическое ожидание , второй начальный момент и дисперсию Dn(t).

Для распределения вероятностей, представленного на рис. 3.5:

.

Для простейшего потока, имеющего экспоненциальное распределение интервалов между заявками, распределение вероятностей Pn(t) подчиняется закону Пуассона.

(3.11)

Где - математическое ожидание числа заявок на интервале t.

Не трудно показать, что для закона Пуассона выполняется равенство (3.12) , то есть, отношение дисперсии к математическому ожиданию равно единице.

(3.12)

Если, в течении интервала времени , в среднем поступает заявок, то средний интервал между заявками определяется, как (3.13), а параметр интенсивности потока (3.14) для потока любого вида.

, (3.13)
, (3.14)

При этом, закон Пуассона может быть представлен в обычном виде

, (3.15)
, (3.16)
=1, (3.17)

С учетом обозначения (3.16), значение vn2(t) уменьшается обратно увеличению интервала времени t, а соотношение (3.17) всегда справедливо.




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.