Уравнение Бернулли

В реальных жидкостях при перемещении слоев жидкости друг относительно друга возникают силы внутреннего трения, тормозящие относительное смещение слоев. Воображаемая жидкость, у которой внутреннее трение полностью отсутствует, называется идеальной. Течение идеальной жидкости не сопровождается диссипацией энергии.

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой идеальной жидкости. Выделим объем жидкости, ограниченный стенками узкой трубки тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями S₁ и S₂ (рис. 5), За время А/ этот объем сместится вдоль трубки тока, причем граница объема S₁ получит перемещение Дl_2, а граница S₂ – перемещение Дl₂. Работа, совершаемая при этом силами давления, раина приращению полной энергии (E_k + E_p)_, заключенной в рассматриваемом объеме жидкости.

Силы давления на стенки трубки тока перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения жидкости, вследствие чего работы не совершают. Отлична от нуля лишь работа сил давления, приложенных к сечениям S1 и S2.

(4)

Полная энергия рассматриваемого объема жидкости слагается из кинетической энергии и потенциалальной энергии в поле сил земного тяготения. Вследствие стационарности течения полная энергия той части жидкости, которая ограничена сечениями 1’ и 2 (внутренняя незаштрихованная часть трубки тока на рис. 5), за время Дtне изменяется. Поэтому приращение полной энергии равно разности значений полной энергии заштрихованных объемов ДV₂ и ДV₁, масса которых Дm = рДV (р – плотность жидкости).

Возьмем сечение S трубки тока и перемещения Дl настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объёмов можно было приписать одно и то же значение скорости v, давления p, и высоты h. Тогда дли приращения полной энергии получается выражение:

(5)

Приравняв выражения (4) и (5), сократив на AV и перенеся члены с одинаковыми индексами в' одну часть равенства, придем к уравнению

(6)

Это уравнение становится вполне строгим лишь при стремлении поперечного сечения S к нулю, т.е. при стягивании трубки тока в линию. Следовательно, величины и, h и р в обеих частях равенства нужно рассматривать как относящиеся к двум произвольным точкам одной и той же линии тока.

При выводе формулы (6) сечения S₁ и S₂ были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверждать, что в стационарно текущей несжимаемой и идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

(7)

Уравнение (6) или равнозначное ему уравнение (7) называется уравнением Бернулли. Хотя это уравнение было получено для идеальной жидкости, оно хорошо выполняется для реальных жидкостей, у которых внутреннее трение невелико.

Поиск по сайту: