Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

A b c X



рис.46

На рисунку 46 крива y=f(x) – опукла в інтервалі (a, b), і угнута в інтервалі (c,d).

Означення 2. Точка, яка відділяє опуклу частину графіка функції від угнутої називається точкою перегину.

На рис.46 т. М – точка перегину з абсцисою х=b.

Інтервали опуклості і угнутості кривої знаходяться за допомогою слідуючої теореми.

Теорема 1. Нехай y=f(x) має похідні f¢(x) i f¢¢(x) в даному інтервалі. Тоді крива y=f(x) опукла в цьому інтервалі, якщо f¢¢(x)<0, i угнута, якщо f¢¢(x)>0, для всіх х з цього інтервала.

Так, напр., відповідно на рис.1 f¢¢(x)<0, якщо хÎ(a, b), f¢¢(x)>0, якщо хÎ(c, d).

Точки перегину знаходяться за наступною теоремою

Теорема 2. (Достатня умова точки перегину). Якщо ,¥ або не існує і , змінює знак при переході через х0, то х0 є точкою перегину f(x).

Приклад.Знайти проміжки проміжки опуклості, угнутостіта точки перегинуфункції.

.

Розв’язання. Задана функція визначена для всіх . Знайдемо її похідні

,

.

Щоб знайти інтервали опуклості і угнутості необхідно знайти корені другої похідної, які разом з точками розриву (якщо такі є) розбивають область існування на проміжки.

Якщо на проміжку, то графік угнутий;

Якщо на проміжку, то графік опуклий.

У тих точках, де друга похідна міняє знак, буде точка перегину, за умови, що функція в цій точці неперервна.

Отже, розв’язуємо рівняння

;

на , графік угнутий;

на , графік опуклий;

на , графік угнутий.

В точках і друга похідна міняє знак. Це є точки перегину.

.

Приклади для самостійного розв’язання

Знайти проміжки опуклості, угнутості та точки перегину кривих.

1. .

2. .

3. . 4. . 5. .

6. . 7. .

Відповіді: 1.Опуклість на і на , угнутість на ; точки перегину і . 2.Опуклість на і на , угнутість на і на ; точки перегину , і . 3.Опуклість на і на , угнутість на і на ; точки перегину ; , . 4.Угнутість на і , опуклість на ; точка перегину . 5.Опуклість на і на , угнутість на ; точки перегину і . 6.Опуклість на , угнутість на ; точка перегину . 7. Опуклість на , угнутість на і на ; точка перегину .

7.5. Асимптоти графіка функції

Означення.Пряма (l) називається асимптотою графіка функції (кривої (L)), якщо відстань MN від змінної точки кривої (MÎL) до прямої прямує до нуля, якщо точка М віддаляється в нескінченність, тобто (див. рис. 47,48)

Y Y

M

M N

(L) N (L)

 

(l)

(l) X X

рис.47 рис.48

Асимптоти розрізняють:

1) вертикальні;

2) похилі (окремий їх випадок – горизонтальні).

1. Вертикальні асимптоти. Будемо говорити, що пряма х=а є вертикальною асимптотою графіка функції y=f(x), якщо хоча б одна з односторонніх границь функції дорівнює нескінченості при х®а±0, тобто

, або .


 

Y

M N

x x=a X

2. Похилі асимптоти. Знаходяться у вигляді y=kx+b, де

зокрема, якщо k=0, то отримуємо горизонтальну асимптоту y=b, де

Приклади.Знайти асимптоти кривих:

1. . 2. .

Розв’язання

1.Із рівняння . Функція існує для .

Вертикальних асимптот функція немає оскільки при і .

Горизонтальних асимптоттеж немає,бо .

Знайдемо похилі асимптоти за формулою ,

де .

Знайдемо

;

Знайдемо вільний член

.

Отже, отримали відомі рівняння асимптот гіперболи

.

2. .Дана функція визначена для , де .

Оскільки

,

то пряма є вертикальною асимптотою кривої.

Горизонтальних асимптоткриванемає,оскільки

.

Знаходимо похилі асимптотипри і при .

.

.

Отже, існує права похила асимптота .

Знайдемо похилу асимптоту при .

оскільки , то - введемо під корінь

.

.

Отже, - ліва похі\ила асимптота.

На рисунку зображені асимптоти та графік кривої.

 


Приклади для самостійного розв’язання.




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.