Элементы аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры

1. Линейное (векторное) пространство. Примеры линейных пространств.

2. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимая и линейно независимая система векторов. Наше и размерность пространства.

3. Скалярное произведение двух векторов в трехмерном пространстве.

4. Линейное n-мерное (п>2) пространство Евклида. Норма (длина) вектора. Угол между двумя векторами. Неравенство Коши-Буняковского.

5. Ортонормированный базис в евклидовом пространстве. Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе. Расстояние между двумя точками.

6. Матрицы размера m^xn. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц.

7. Определитель матрицы. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу).

8. Минор матрицы произвольного порядка. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Теоремы об элементарных преобразованиях.

9. Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о базисном миноре.

10. Произвольные системы линейных уравнений. Различные формы
записи. Понятие решения, эквивалентных систем, линейно зависимых (линейно независимых) уравнений системы.

1 1. Элементарные преобразования линейной системы. Теорема об элементарных преобразованиях системы. Метол Жордана -Гаусса.

12.Критерий совместности (теорема Кронекера-Капелли) линейной системы. Линейная однородная система. Критерий существования нетривиальных решений.

13.Обратная матрица. Условие существования обратной матрицы. Методы нахождения обратной матрицы.

14.Теорема Крамера.

15.Линейные подпространства. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений. Размерность полпространства решений. Общее решение.

16. Описание совокупности решений произвольной системы линейных неоднородных уравнений.

Элементы аналитической геометрии

17. Векторное произведение двух векторов в пространстве. Свойства векторного произведения (критерий коллинеарности). Двойное векторное произведение.

18. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения (критерий компланарности трёх векторов).

19. Поверхность первого порядка в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку в заданном направлении. Гиперплоскость в n-мерном пространстве.

20. Нормальное уравнение плоскости (нормальное уравнение прямой на плоскости). Расстояние от точки до плоскости.

21. Прямая в пространстве. Векторное, параметрические и канонические уравнения прямой. Угол между двумя прямыми.

22. Угол между прямой и плоскостью. Точка пересечения прямой с
плоскостью.