Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Математичне моделювання



У цьому курсі ми розглядатимемо математичні моделі. Їх можна будувати лише для явищ і процесів, які характеризуються добре визначеними кількісними показниками і залежності між якими вже відомі, або будуть встановлені моделюванням на підставі більш загальних законів і обмежень, яким підкоряються параметри оригіналу. Взагалі, процес побудови математичної моделі полягає у формулюванні математичними засобами множини відомостей про об’єкт та відображенні відношень між параметрами об’єкта у вигляді математичних формул, рівнянь чи інших математичних конструкцій.

Математична модель об’єкта – це зв’язок між його вхідними і вихідними параметрами, що виражений у формі математичних рівнянь, логічних відношень, чи обмежень на значення всіх, або окремих параметрів.

Процес математичного моделювання можна поділити на кілька етапів:

1. Постановка задачі, яку необхідно розв’язати, використовуючи модель (формулювання мети). На цьому етапі з усіх параметрів, які характеризують оригінал, вибирають лише ті, дослідження яких забезпечує досягнення мети. Тобто ми заздалегідь погоджуємося на контрольовану обмеженість щодо вивчення властивостей оригіналу.

2. Розробка саме математичної моделі. На цьому етапі формулюються математичні зв’язки між параметрами оригіналу, визначаються всі можливі обмеження на допустимі області значень параметрів. Це робиться на підставі загальних законів фізики, хімії чи термодинаміки, або спеціальних експериментів. Дуже важливим на цьому етапі є контроль впливу відкинутих параметрів на характеристики оригіналу, що досліджуються. Такий контроль дозволяє забезпечити прийнятну адекватність (відповідність моделі оригіналу), або якість моделі.

3. Математична модель ТЕУповинна включати.

· Основні змінні величини , що характеризують процес у вузлі чи елементі ТЕУ.

· Опис зв’язків між змінними величинами у стаціонарному режимі роботи ТЕУ.

· Опис зв’язків між змінними величинами у перехідному режимі роботи ТЕУ(динамічна модель).

· Всі можливі фізико-хімічні, структурні, технологічні та економічні обмеження на процеси у вузлах та на роботу ТЕУ в цілому.

· Чітко сформульований критерій оптимізації елемента чи ТЕУ в цілому.

4. Дослідження моделі. Для математичної моделі це означає розв’язки відповідних рівнянь чи нерівностей, які встановлюють відповідність вихідних параметрів вхідним; знаходяться множини допустимих значень параметрів. Досліджується стійкість моделі та її розв’язків стосовно малих збурень початкових чи краєвих умов.

5. Перенесення даних з моделі на оригінал. На цьому (заключному) етапі, необхідно перенести результати, що отримані у модельних дослідах, на оригінал. Можливість такого переносу ґрунтується на тому, що між параметрами моделі і оригіналу існують одинакові відношення, що описуються однаковими математичними виразами. Еквівалентність відношень дозволяє встановити відповідність між параметрами оригіналу і моделі. При переносі модельних даних на оригінал слід бути обережним в цьому розумінні, що деякі висновки, отримані на моделі, можуть бути результатами наближень, що зроблені при математичному описі поведінки параметрів оригінала, чи розрахунків при числовому моделюванні (наближень, прийнятих при розв’язку математичних рівнянь, що входять у структуру моделі).

2.6. Імітаційне моделювання

Імітаційне (або цифрове) моделювання включає математичне моделювання і „прогонку” відповідних моделей на ЕОМ. Імітаційне моделювання ґрунтується на математичній моделі явища чи процесу, яка складається з набору узгоджених між собою математичних моделей окремих блоків, що представляють елементи технологічного процесу. Математична модель складається з множини вхідних параметрів, обмежень на значення параметрів та системи математичних співвідношень між вхідними та шуканими параметрами. Вплив випадкових факторів моделюється генератором псевдовипадкових чисел з заданими функціями розподілу. Отримані в результаті числових розрахунків вихідні параметри, порівнюються з даними, отриманими на фізичних моделях, чи на натурі. Коли збіжність незадовільна, модифікуються параметри модельної системи чи її блоки і модель знову „проганяють” на ЕОМ.

Результати імітаційного моделювання формуються у вигляді таблиць, графіків, малюнків чи відеофрагментів.

Досвід роботи з імітаційними моделями показує, що ця робота має динамічний ітеративний характер, що виявляється в необхідності багатократних прогонок моделі, уточнення постановки задачі, корекції вхідних та внутрішніх параметрів моделі і математичних блоків задачі.

Імітаційне моделювання не можливе без різносторонньої та ґрунтовної інформації про реальні особливості фізичного процесу і таким чином воно сприяє глибшому розумінню явищ, що моделюються. Переважно те що роблять в імітаційних експериментах не можливо повторити на натурі і в тому є їх основна привабливість.

Важливим застосуванням імітаційних моделей є не лише науково - технологічні та конструкторські задачі, їх можна також використовувати як засіб професіональної підготовки спеціалістів різного профілю, в т.ч. для засвоєння навичок методів планування експериментів та статистичної обробки даних.

Прикладом загальновідомих успішних імітаційних експериментів, що мають глобальне значення є дослідження „ядерної зими” та моделювання ядерних вибухів, що привело політичний істеблішмент до розуміння необхідності контролю над гонкою ядерних озброєнь та дозволило відмовитися від небезпечних для людства натурних випробовувань ядерної зброї.

На даний час імітаційні експерименти використовуються у фізиці, електро- та теплотехніці, біології та медицині. Відоме застосування імітаційних досліджень у соціології, економіці, менеджменті, військовій справі та політології. Прикладом імітаційного моделювання є комп’ютерні ігри та 3-д фільми у віртуальній реальності.

Висновки

1. Моделювання означає спосіб відображення або відтворення реального явища чи процесу (оригіналу) з метою вивчення його особливостей, якщо це неможливо зробити безпосередньо (великі розміри, буває рідко, дорого коштує, принципово неможливо, тощо).

2. Процес моделювання складається з таких основних етапів:

· постановка проблеми;

· вибір (побудову) моделі;

· дослідження моделі;

· екстраполяція одержаних результатів на оригінал.

3. Подібність може бути такою:

Повна подібність – подібність всіх процесів, що протікають у часі і просторі, які суттєві для явища, яке вивчається.

Неповна подібність – виражається відповідністю процесів за їх зміною лише або в часі, або в просторі.

Приблизна подібність – може мати місце лише за деяких умов, які спрощують ситуацію, але вплив яких можна попередньо врахувати кількісно.

4. Найчастіше використовується фізичне моделювання. Воно може бути реалізоване двома способами:

4.1. Шляхом натурного виробничого експерименту, коли вимірювання даних виконується безпосередньо на діючій заводській установці без внесення в неї будь-яких змін.

4.2. На спеціальних стендах.

5. Імітаційне (або цифрове) моделювання.

Імітаційне моделювання ґрунтується на математичній моделі явища чи процесу, яка складається з набору узгоджених між собою математичних моделей окремих блоків, що представляють елементи технологічного процесу і на чисельних розв’язках відповідних математичних блоків при заданій множині вхідних та внутрішніх параметрів математичної моделі.

 

 

Таблиця 1

Критерії подібності механічних та гідравлічних явищ

 

№ пп Критерій Формульний вираз
Ньютона – критерій, характеризує подібність механічних явищ
Гомохронності – критерій, характеризує однорідність процесів у часі
Фруда – критерій, характеризує відношення сил інерції та тяжіння в однорідному потоці
Ейлера – критерій, характеризує відношення сил тиску та інерції. Використовують при визначенні гідравлічних втрат
Рейнольда – критерій, характеризує відношення сил інерції та молекулярного тертя
Архімеда - критерій, характеризує відношення сил Архімеда та молекулярного тертя
Закони подібності гідротурбін
t – час; M – маса; l – геометричний розмір; V – швидкість; g – прискорення вільного падіння; р – тиск; – щільність (густина); – динамічна в’язкість; – коефіцієнт кінематичної в’язкості; Р – потужність турбіни; D – діаметр; Н – напір; Ммех – механічний обертовий момент, N - потужність.

 

 

 

Таблиця 2

Критерії подібності теплових явищ

 

№ пп Критерій Формульний вираз
    Нуссельта – критерій, характеризує відношення між інтенсивностями конвективної тепловіддачі та теплопровідності у пограничному шарі. α – коефіцієнт тепловіддачі; - коефіцієнт теплопровідності; l - характерний розмір погран. шару.
  Стентона – критерій, характеризує відношення між інтенсивністю тепловіддачі та тепловмістом. ср – питома теплоємність при сталому тиск ρ – густина (щільність) середовища; V – характерна швидкість потоку.
Пекле – критерій, характеризує відношення конвективного і молекулярного переносів тепла у потоці
  Прандтля – критерій, характеризує подібність полів швидкості та температури. Якщо Pr = 1 та ∆p = 0, то ці поля подібні. νо – кінематична в’язкість середовища.
  Фур’є – критерій теплової гомохронності. Характеризує швидкість зміни температурного поля. Застосовується при дослідженні процесів нестаціонарної теплопровідності. , - коефіцієнт температур- ної провідності; - коефіцієнт теплопровідності.
idem – означає, що величина критерію для моделі та оригіналу повинні бути однаковими.

 

Питання для самоконтролю

1. У чому суть моделювання і коли його необхідно використовувати? Як співвідносяться модель і оригінал?

2. Що означає поняття "подібність"? Види подібностей. Опишіть та дайте приклади з вашого досвіду.

3. Що таке фізична подібність і в чому суть фізичного моделювання? Наведіть приклади фізичних моделей.

4. Сформулюйте і поясніть теореми подібностей. Запишіть вирази і поясніть зміст критеріїв Фурє та Пекле.

5. Чи можлива (за яких обставин) повна подібність при моделюванні процесів у топках котлів, трубних пакетах теплообмінників та при дроселюванні?

6. Сформулюйте правила подібностей. Запишіть вирази критеріїв подібності Нуссельта та Стентона. Що вони відображають і у яких випадках застосовуються?

7. Що таке і у чому суть та переваги математичного моделювання? Перелічіть та поясніть основні етапи математичного моделювання. Наведіть приклад простої математичної моделі.

8. Що таке імітаційний експеримент? Дайте приклад імітаційного експерименту. Для чого роблять імітаційні експерименти і яка послідовність їх виконання?

9. Поясніть принципи фізичного моделювання. Які бувають види фізичного моделювання?

10. Запишіть і поясніть вираз для критерію Прандтля. Що характеризує критерій Прандтля? Чи відомі вам випадки застосування цього критерію?

11. Вкажіть найцікавіші та найпоширеніші приклади імітаційного моделювання. Чи існують принципові межі для імітаційного моделювання? Що обмежує можливості імітаційного моделювання?

12. Що вам відомо про критерії механічної подібності Ньютона, Фруда, Ейлера та Рейнольдса? Запишіть їх вирази та поясніть. Дайте приклади їх застосування.




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.