Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Множества



Математический анализ 1

А.Ф.Чувенков

 

 

Содержание

 

Программа по математическому анализу (с рекомендуемой литературой и основными теоретическими сведениями) 4

Множества_ 4

Последовательности_ 7

Функции_ 12

Дифференцирование 19

Исследование функции_ 27

Литература_ 32

Задания для самостоятельного выполнения_ 34

Решение типового варианта_ 56

Выбор варианта контрольной работы № 1_ 69

Приложения_ 70

Неопределенности_ 70

Пределы_ 70

Эквивалентные бесконечно малые 70

Таблица производных_ 71

Латинский алфавит 72

Греческий алфавит 72


Программа по математическому анализу (с рекомендуемой литературой и основными теоретическими сведениями)

Множества

1. Множества: обозначения, символы , , , , , , , , . Теория: [1, стр. 18-19, 34-36], [2, стр. 11], [3, стр. 59-60], [5, стр. 7], [8, стр. 16], [11, стр. 10-11], [17, стр. 5-6, 26-27].

Понятие множества и его элементов являются первичными в математике. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита; элементы множества – малыми буквами.

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то пишут . Множества А и В равны ( ), т.е. состоят из одних и тех же элементов, тогда и только тогда, когда и .

 

2. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение. Теория: [1, стр. 19-21], [2, стр. 11-12], [3, стр. 60, 65-67], [5, стр. 7-8], [8, стр. 18-19], [17, стр. 6-8]. Решённые примеры: [17, стр. 8], Задачи: [16, зад. 1-17], [17, зад. 1.1-1.19], [18, стр. 144].

– объединение;

– пересечение;

– разность;

– симметрическая разность;

– дополнение.

 

3. Числовые множества. Множество действительных чисел. Непрерывность множества действительных чисел. Теория: [1, стр. 26-31, 37-58], [2, стр. 15-18], [3, стр. 29-34, 46-52], [4, стр. 11-21, 24-25, 28-35], [5, стр. 13-17], [7, стр. 11-15], [8, стр. 16-17], [11, стр. 11-14], [17, стр. 36-39, 43-45], [21, стр. 262-263], Решённые примеры: [20, стр. 6].

– множество натуральных чисел;

– множество целых чисел;

– множество рациональных чисел;

Множество элементов, на котором определены операции сложения и умножения, удовлетворяющие некоторым свойствам (аксиомам), называется множеством действительных чисел и обозначается через .

Одним из указанных свойств является аксиома непрерывности множества действительных чисел: для любых непустых подмножеств X и Y множества таких, что для каждой пары чисел и выполняется неравенство , существует число а, удовлетворяющее условию , , .

 

4. Числовая прямая, окрестности. Теория: [1, стр. 61-64], [2, стр. 18-20], [3, стр. 52-53], [7, стр. 17-18], [11, стр. 14-16], [17, стр. 39-40], [21, стр. 263-264]. Задачи: [17, зад. 3.14-316], [25, стр. 5].

Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа – точками этой прямой.

Удобно дополнить множество действительных чисел элементами, обозначаемыми и и называемыми плюс бесконечность и минус бесконечность.

отрезок.

интервал.

, полуинтервалы.

-окрестностью числа a называется интервал , т.е. .

 

5. Ограниченные и неограниченные множества. Теория: [1, стр. 64-67], [2, стр. 57], [3, стр. 40-41], [4, стр. 25-26], [5, стр. 19], [7, стр. 19], [8, стр. 75-76, 91-93], [17, стр. 50], [21, стр. 264-265]. Задачи: [17, зад. 3.47-3.49], [25, стр. 5-7].

Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число M (m), что для всех имеет место неравенство ( ).

Xогр. сверху (снизу) .

 

6. Верхняя и нижняя грани. Теорема о существовании верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества. Теория: [1, стр. 67-74], [2, стр. 57-59], [3, стр. 41-43], [4, стр. 26-28], [5, стр. 19-21], [8, стр. 76-77], [11, стр. 17-18], [17, стр. 50-51], [21, стр. 265-266]. Решённые примеры: [20, стр. 6-7]. Задачи: [14, зад. 15-20], [17, зад. 3.50-3.54], [20, зад. 20.1-22.1], [25, стр. 5-7].

Пусть числовое множество X ограничено сверху. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество X, называется его верхней гранью и обозначается или .

Если числовое множество X ограничено снизу, то наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество X, называется его нижней гранью и обозначается или .

Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

 

7. Принцип вложенных отрезков. Теория: [1, стр. 75-80], [2, стр. 62-64], [3, стр. 85-86], [4, стр. 82-83], [5, стр. 17], [8, стр. 90-91], [11, стр. 33-34], [17, стр. 51], [21, стр. 263]. Задачи: [17, зад. 3.55-3.57].

Система числовых отрезков , , , , называется системой вложенных отрезков, если , т. е. .

Всякая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение.

Длины отрезков , , , называется стремящимися к нулю, если для любого числа существует такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство .

Для всякой системы вложенных отрезков , длины которых стремятся к нулю, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы, при этом .

 




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.