Получили 2-е нулевые строки. Поэтому ранг А равен 2 (очевидно минор второго порядка ).
Ответ: .
Контрольная работа № 2
“СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ”
ЗАДАНИЕ 1.Решить системы матричным способом и по формулам Крамера:
1.
а) ;
б) .
2.
а) ;
б) .
3.
а) ;
б) .
4.
a) ;
б) .
5.
а) ;
б) .
6.
а) ;
б) .
7.
а) ;
б) .
8.
а) ;
б) .
9.
а) ;
б) .
10.
а) ;
б) .
11.
а) ;
б) .
12.
а) ;
б) .
13.
а) ;
б) .
14.
а) ;
б) .
15.
а) ;
б) .
16.
а) ;
б) .
17.
а) ;
б) .
18.
а) ;
б) .
19.
а) ;
б) .
20.
a) ;
б) .
21.
а) ;
б) .
22.
а) ;
б) .
23.
а) ;
б) .
24.
а) ;
б) .
25.
а) ;
б) .
26.
а) ;
б) .
27.
а) ;
б) .
28.
а) ;
б) .
29.
а) ;
б) .
30.
а) ;
б) .
Задание 2. Решить системы методом Гаусса:
1.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2.
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
3.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
4.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
5.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
6.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
7.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
8.
8.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
9.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
10.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
11.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
12.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
13.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
14.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
15.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
16.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
17.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
18.
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
19.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
20.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
21.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
22.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
23.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
24.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
25.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
26.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
27.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
28.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
29.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
30.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Задание 3. Решить системы однородных уравнений:
1.
а) ;
б) .
2.
а) ;
б) .
3.
а) ;
б) .
4.
а) ;
б) .
5.
а) ;
б) .
6.
а) ;
б) .
7.
а) ;
б) .
8.
а) ;
б) .
9.
а) ;
б) .
10.
а) ;
б) .
11.
а) ;
б) .
12.
а) ;
б) .
13.
а) ;
б) .
14.
а) ;
б) .
15.
а) ;
б) .
16.
а) ;
б) .
17.
а) ;
б) .
18.
а) ;
б) .
19.
а) ;
б) .
20.
а) ;
б) .
21.
а) ;
б) .
22.
а) ;
б) .
23.
а) ;
б) .
24.
а) ;
б) .
25.
а) ;
б) .
26.
а) ;
б) .
27.
а) ;
б) .
28.
а) ;
б) .
29.
а) ;
б) .
30.
а) ;
б) .
Образец выполнения контрольной работы № 2
“СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ”
1) Решить систему матричным способом: .
Решение.Пусть . Тогда данную систему можно записать в виде матричного уравнения . Решаем его, домножая слева на обратную матрицу: Отсюда получаем решение . Найдем сначала .
.
,значит ).
Составляем обратную матрицу
Найдем
,
т. е. .
Проверка.Подставим найденное решение в исходную систему: (истина), (истина), (истина).
Ответ: .
2) Решить систему методом Крамера.
Возьмем эту же систему и решим её с помощью определителей.
(найден
выше).
, запишем определитель системы
Заменим в столбец коэффициентов при на столбец правых частей
.
Заменим в столбец коэффициентов при на столбец правых частей
Заменим в столбец коэффициентов при на столбец правых частей
.
По формулам Крамера получаем решение .
Ответ: .
3) Решить системы методом Гаусса:
а)
Выписываем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приводим ее или к треугольному виду, или к виду трапеции (как получится).
(3)
xyz
: (-1)
: (-6)
.
.
Так как число неизвестных и равно рангу системы, система имеет единственное решение. По полученной матрице восстанавливаем систему уравнений. Идя снизу вверх, получаем это решение: .
Из последнего уравнения 3, с помощью второго находим Подставляя в первое уравнение найденные и находим
Ответ: .
б)
(-1)
Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т. е. не имеет решения). Выпишем уравнение, соответствующее последней строке полученной матрицы: , что невозможно.
Ответ: система не имеет решения.
в)
Записываем расширенную матрицу:
: (-1) .
. Отсюда следует, что система совместна.
Число неизвестных .Следовательно, система имеет бесконечное множество решений: . Отсюда система имеет одну свободную переменную, пусть это будет , тогда – базисные (базисных неизвестных столько, каков ранг системы, т. е. сколько ненулевых строк остается в последней матрице).