Реляційна семантика інтуїціоністської логіки

На відміну від класичної логіки, яка є логікою конкретного знання, інтуїціоністська логіка передбачає накопичення знань. На цій ідеї Брауера базуються найпопулярніші семантичні моделі інтуїціоністської логіки – моделі можливих світів, або реляційні моделі.

Моделі можливих світів були започатковані Л. Брауером і А. Гейтінгом, далі розвинуті С. Кріпке та Я. Хінтіккою. Вони успішно використовуються також для описання семантики модальних логік.

Про інші підходи до семантики інтуїціоністської логіки див. [33, 52].

Моделлю можливих світів інтуїціоністської логіки, або реляційною інтуїціоністською моделлю назвемо трійку М = (S, >, I).

Тут S – множина світів, >– бінарне відношення на S, I – відображення інтерпретації. Відношення >євідношенням часткового порядку на S.

Уточнимо відображення інтерпретації для випадку інтуїціоністської ПЛ:

I : Ps´S®{T, F}.

Світи узгоджуються з відношенням >таким чином.

Якщо a >b та I(A, a) = T, то I(A, b) = T. Це означає, що при підйомі по світах істинність атомарних формул не може перейти у фальш.

Bідображення інтерпретації I : Ps´S®{T, F} індуктивно продовжимо до відображення J : Fp´S®{T, F}:

1) J(A, a) = I(A, a) для всіх АÎPs;

2) J(FÚY, a) = T Û J(F, a) = T або J(F, a) = T;

3) J(F&Y, a) = T Û J(F, a) = T та J(F, a) = T;

4) J(ØF, a) = T Û для всіх b таких, що a >b, маємо J(F, b) = F;

5) J(F®Y, a ) = T Û для всіх b таких, що a >b, маємо: якщо J(F, b) = T, то J(Y, b) = T.

Те, що J(F, a) = T, тобто істинність формули F у світі a, позначаємо a |=F.

Формула F істинна в реляційній моделі М, що позначаємо М |=F, якщо для всіх aÎS маємо a |=F.

Формула F інтуїціоністськи істинна, що позначаємо _I |=F, якщо для кожної реляційної моделі М маємо М |=F.

Для випадку інтуїціоністської логіки предикатів світами є алгебраїчні системи заданої сигнатури s, яка визначає мову такої логіки.

Задамо відображення інтерпретації атомарних формул на світах:

I : ´ S®Pr^a).

Світи узгоджуються з відношенням >таким чином.

– Нехай a= (A, s), b= (B, s) та a >b. Тоді AÍB.

– Нехай pÎPs. Якщо a >b та p_a(a₁,..., a_n) = T, то p_b(a₁,..., a_n) = T.

Отже, при підйомі по світах їх носії можуть тільки розширюватися, при цьому істинність атомарних формул не може перейти у фальш.

Значення формули у світі a визначаємо індуктивно:

1) для атомарних формул p_a(d) = T означає I(p, a)(d) = T;

2) (FÚY)_a(d) = T Û F_a(d) = T або Y_a(d) = T;

3) (F&Y)_a(d) = T Û F_a(d) = T та Y_a(d) = T;

4) (ØF)_a(d) = T Û для всіх b таких, що a >b, маємо F_b(d) = F;

5) (F®Y)_a(d) = T Û для всіх b таких, що a >b, маємо: якщо F_b(d) = T, то Y_b(d) = T;

6) ($xF)_a(d) = T Û для деякого aÎA маємо F_a(dÑxaa) = T;

7) ("xF)_a(d) = T Û для всіх b таких, що a >b, для всіх aÎB маємо F_b(dÑxaa) = T.

Істинність формули F у світі a позначаємо a |=F.

Формула F істинна в реляційній моделі М, що позначаємо М |=F, якщо для всіх aÎS маємо a |=F.

Формула F мови сигнатури s інтуїціоністськи істинна, що позначаємо _I |=F, якщо для кожної реляційної моделі М зі світами сигнатури s маємо М |=F.

Приклад 18.1.1. Покажемо, що формула AÚØA не є інтуїціоністськи істинною. Для цього вкажемо для неї контрмодель – реляційну модель М таку, що М |¹ AÚØA.

b g

A

Задамо I(A, a) = F, I(A, b) = T, I(A, g) = F. Зрозуміло, що невірно a |=A. Для a |=ØA необхідно a |¹ A, g |¹ A, b |¹ A. Однак I(A, b) = T, тому b|=A. Отже, невірно a |=ØA, звідки a |¹ AÚØA, тому М |¹ AÚØA.

Приклад 18.1.2. Покажемо, що формула (A®B)Ú(B®A) не є інтуїціоністськи істинною. Для цього вкажемо для неї контрмодель М таку, що М |¹ (A®B)Ú(B®A).

b g

A

Задамо I(A, a) = F, I(B, a) = F, I(A, b) = T, I(B, b) = F, I(A, g) = F, I(B, g) = T. Тоді b|=A та b|¹B, звідки, ураховуючи a >b, невірно a|=A®B. Однак g|=B та g|¹A, тому, ураховуючи a >g, невірно a|=B®A.

Отже, невірно a|=(A®B)Ú(B®A), тому М |¹ (A®B)Ú(B®A).

Приклад 18.1.3. Укажемо модель М таку, що М |=Ø"x(P(x)Ú ØP(x)).

…

a₂A₂ = {0, 1, 2}

a₁A₁ = {0, 1}

a₀A₀ = 0}

Для кожного світу a_nйого носій – це A_n = {0, 1,…, n}.

Задамо (k) = T для всіх k < n та (n) = F.

Маємо (0) = F; але Ø (0) = T означає, що (0) = F для всіх n, що невірно, тому Ø (0) = F. Отже, (0) = F.

Маємо (1) = F; але Ø (1) = T означає, що (1) = F для всіх n ³1, що невірно, тому Ø (1) = F. Отже, (1) = F.

Продовжуючи, отримуємо (2) = F і т. д.

Отже, для кожного a_n (n) = F, тому для кожного a_n = F. Звідси a_n |= Ø"x(P(x)Ú ØP(x)) для кожного a_n, тому М |= Ø"x(P(x)Ú ØP(x)).

Зауважимо, що в класичній логіці |= "x(A(x)Ú ØA(x)). Отже, в інтуїціоністській логіці є формули, які суперечать формулам класичної.

Поиск по сайту: