Функції, що зберігають нуль та функції, що зберігають одиницю. Монотонні функції

Булева функція називається функцією, що зберігає 0, якщо на нульовому слові вона приймає значення 0, тобто якщо

.

Булева функція називається функцією, що зберігає 1, якщо на одиничному слові вона приймає значення 1, тобто якщо

.

Приклад 1. Функції і зберігають нуль, оскільки

,

Крім того, ці функції зберігають одиницю оскільки

,

Приклад 2.Функція зберігає 1 і не зберігає 0, оскільки

,

Введемо на множині слів відношення порядку, яке будемо позначати символом . Нехай

і

– два слова. Тоді

,

якщо

, .

Якщо це не так, хоча б для однієї пари , то слова і – незрівнянні.

Приклад 3. Для функцій двох змінних є чотири слова: 00, 01, 10, 11. При цьому

, , , ,

, ,

, ,

.

Незрівнянними є слова 01 і 10.

Булева функція називається монотонною,якщо для будь яких слів і для яких ,

,

, , .

Приклад 4.Дослідити на монотонність функцію

.

Виконання:

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Висновок: – функція монотонна.

Приклад 5.Дослідити на монотонність функцію

.

Виконання

Висновок: – функція не монотонна.

ТеоремаБулева функція відмінна від констант 0 та 1 є монотонна, якщо і тільки якщо вона допускає подання формулою булевої алгебри без заперечень.

Приклад 6. Визначити , чи монотонна функція

.

Виконання.

Одержана формула булевої алгебри не містить заперечень, отже монотонна функція.

Поиск по сайту: