ФОРМАЛІЗОВАНІ МОВИ ТА МОВИ ЛОГІЧНИХ СИСТЕМ

Приступаючи до розв’язування завдань чи виконання вправ, вам належить, насамперед, повторити теоретичний матеріал стосовно зазначеного змістового модулю та його елементів.

Природа і функції формалізованих мов, зокрема мови конкретних логічних систем, закорінена в проблемі природи людського пізнання, його рівнів та етапів, особливостях чуттєвих та раціональних форм осягнення реальності, а також їх репрезентації в адекватних теоретичних системах знання. Якщо результати чуттєвих форм пізнання – відчуття, сприйняття, уявлення – постають у формі чуттєво-наочних образів предмета, то результати раціональних форм пізнання – поняття, судження, умовивід – постають у формі ідеальних образів предмета чи явища, їх ознак чи властивостей або відношень між ними. Чуттєві та раціональні форми взаємозв’язані й взаємнопотенціюються. Раціональні або логічні форми пізнання хоча і пов’язані із чуттєвими, але не тотожні їм. Логічне або абстрактне мислення – це раціональний процес активного й цілеспрямованого відображення об’єктивної реальності в мозку людини на основі даних органів чуттів. Знання, здобуті на стадії абстрактного мислення, опосередковані цими даними, знаходять своє відображення в логічних (мисленнєвих) формах. Логічні форми пізнання (мислення) відображають світ узагальнено, виділяючи найістотніші й загальні ознаки предметів і явищ, які розкривають їхню суть. Логічні форми, в яких відображається реальність, уречевлюються мовою. Мова є матеріальною формою і способом фіксації людської думки. Мова не тільки виражає наші думки, а й фіксує способи зв’язку між ними. Досліджуючи мову, ми розкриваємо логічні зв’язки між думками, які уречевлюються у словах, словосполученнях та реченнях чи їх системі. Мова, виражаючи і зберігаючи наші думки у логічних формах, транслює останні від покоління до покоління, постає способом пізнання світу. Інтелектуальна мисленнєво-мовленнєва акція вимагає розпізнавання образів, їхньої класифікації, що зумовлює формування у психіці системи еталонів. Ці еталони не ототожнюються з окремими спостережуваними предметами, а мають суто абстрактний характер. Вони фіксуються у вигляді особливих сигналів – мовних знаків. Саме мовні знаки, закріплюючи суспільно значущі ситуації у свідомості людини, сприяють розвиткові абстрактного поняттєво-категоріального мережива, завдяки якому людина пізнає світ. Мовні структури різного рівня (фонетичні, лексичні, граматичні, синтаксичні), що складаються у процесі розвитку природних мов, по-різному беруть участь в реалізації акту мислення. Як засоби побудови думки мовні структури накладають відбиток на процес мислення і сприяють відображенню дійсності у вигляді системи абстракцій. Іншими словами, мислення є формою відображення реальності, а мова є інструментом мислення. Будучи знаряддям мислення, мова пов’язана своєю смисловою стороною з об’єктивною реальністю і своєрідно відтворює останню. Це зумовлено взаємозв’язком мови й людського пізнання, суспільно-історичною генезою мовних форм. Поза цим зв’язком вона не може бути пізнаною. Тому мову мусимо розглядати у зв’язку з пізнанням й узагальненням. Саме зв’язок мови з мисленням і дійсністю уможливлює розв’язок проблеми ролі мови в пізнанні. Мова як засіб відображення дійсності впливає на сам спосіб сприйняття та пізнання цієї дійсності. Вам відомо, що природна мова „допомагає» мисленню відтворити картину світу, іменувати предмети дійсності, описувати їх стан, поведінку і т. ін. Оскільки природна звукова мова постає системою знаків і слів, і є членоподільною, а її словниковий фонд і граматика дають можливість конструювати тексти і складні знаки, то іноді її іменують напівформальною системою або частково штучною.

Цілком вірогідно, що за аналогією напівформальних мов конструюються штучні, формалізовані мови, які можуть функціонувати тільки у зв’язку з природними мовами. Формалізовані мови – це штучні мови формальних логічних числень. Ці мови відрізняються від природних мов тим, що вони постають системою знаків і символів, операції з якими здійснюють за правилами, які визначаються тільки структурою, формою виразів, утворених із символів чи знаків. Штучна логічна мова – це спеціально створена для логічних цілей формальна система, яка слідує за логічною формою та відтворює її. Інакше кажучи, усі вирази (знакові структури) формалізованої мови є формулами, операції над якими здійснюють за правилами, що визначаються тільки структурою цих формул, абстрагуючись від їхнього змісту. Це дає можливість досягти точності й однозначності вживання виразів, чого не може забезпечити природна мова. Відмітною рисою формалізованої мови є те, що вона містить у собі певну теорію чи систему логічного аналізу. Специфіка формалізованої мови не в тому, що в ній слова замінюються на букви та спеціальні символи, а в тому, що фундаментом формалізованої мови є розроблена система логічного аналізу міркувань.

Основу чи базу формалізованої мови становлять єдині символи, які називають вихідними і неподільними. Нагадаємо, що під символом (знаком) розуміють матеріальну річ, предмет, процес, дію, стан, що вживаються для позначення іншого предмета, явища, процесу, стану, дії, відношення чи зв’язку предметів об’єктивної реальності або форм мислення і логічних операцій. Значенням символу (знаку) є предмет, репрезентований знаком у даній системі, а зміст знака (символа) становить інформація про властивості або відношення між предметами мислення.

Зауважимо, що задати алфавіт штучної мови як знакової системи та визначити правила утворення формул для побудови формалізованої мови недостатньо. Як і природна мова, кожна формалізована мова має свій синтаксис, який визначає її структуру, правила утворення й перетворення одних формул в інші, свою семантику, яка визначає систему правил приписування значень формулам мови. До формалізованих мов, як і до будь-яких формальних систем, ставляться відповідні вимоги – несуперечливості, повноти, незалежності аксіом і т. ін.

Пригадайте, щоб побудувати формалізовану мову як логічну систему, треба, попервах, виписати вихідні, єдині й неподільні символи (терміни), число яких не обмежується; далі, з конечної лінійної послідовності вихідних символів утворити формули, відтак, із числа усіх можливих формул виділити за відповідними ознаками правильно побудовані формули і оголосити їх аксіомами (залежно від завдань, які розв’язуватимуться цією мовою, визначаємо відповідну кількість аксіом); і нарешті, встановити правила виводу (вивідності), за якими з правильно побудованих формул як із засновків (гіпотез) безпосередньо виводити правильно побудовані формули як висновки (наслідки). Отримана кінечна послідовність правильно побудованих формул репрезентуватиме доведення, якщо кожна правильно побудована формула в цій послідовності є або аксіомою, або безпосередньо вивідною за одним із правил виводу з попередніх правильно побудованих формул цієї ж послідовності.

Ви уже знаєте, що логіка вивчає міркування як інтелектуальну процедуру, що постає у формі стандартного зв’язку між елементами розсудкових форм. Можливість репрезентувати смислові логічні відношення і процедури точним способом уможливлює і вирізняє структуру міркування, його логічні зв’язки.

Зверніть увагу на те, що формалізовані мови створюються не для заміни природних мов. Вони постають як фрагменти, моделі певних аспектів природних мов. Правила конструювання в штучних мовах задаються таким чином, щоб об’єкти (формули), породжувані цими правилами, відповідали тим же граматичним структурним вимогам, що й осмислені вирази природної мови. Метою формалізованих мов логічних систем є не заміна слів, словосполучень, речень у процесі опису логічних процедур та правил, а відтворення процесу й результату сходжень від загального до часткового, тобто дедукування. Логічні формальні системи будуються таким чином, щоб репрезентувати логічні структури і зв’язки. Річ не в тім, щоб побудувати логіку у вигляді формальної системи, на зразок алгебри, а в тім, щоб сконструювати мову символів для «чистого» мислення, яка адекватно відтворювала б відношення між поняттями та відношення логічного слідування між думками. Методологічна, гносеологічна роль формалізованих мов полягає в тому, що вони постають своєрідним інструментом дослідження змістових процесів, оскільки природна мова позбавлена такої можливості. Не треба думати, що штучні мови – це спрощенні фрагменти природних мов. Насправді це – доповняльні системи, які служать для того, щоб зробити явними ті засади, які приймаються в теорії, а також репрезентувати точним методом логічні зв’язки і структуру міркувань. Крім цього, мови логічних систем з визначеною семантикою і синтаксисом дають змогу з’ясувати шляхом реконструкцій певні інтелектуальні когностичні процедури, виявити їхні онтологічні припущення, теоретико-пізнавальні засади, пов’язані зі способом міркувань, та виявити інформацію, яку несуть у собі логічні принципи і закони.

Майте на увазі, що смисл, знаків (символів) чи виразів формалізованої мови неможливо пояснити поза їхнім місцем і роллю в знаковій системі. Зміст і завдання знаків мови можна з’ясувати, виявляючи умови й принципи функціонування знакової системи. Вивчаючи штучні мови, треба пам’ятати й про те, що тільки в процесі комунікації складаються відповідні знакові системи та адекватні їм аспекти мови: семантика, синтаксис і прагматика. Ці аспекти знакового процесу належним чином висвітлені в підручниках з логіки згідно вимог кредитно-модульної системи організації навчального процесу.

До вище означеного додамо наступне. Мова логіки – це спеціально створена знакова система, яка придатна відтворювати логічну форму. Мова логіки є формалізованою мовою. Побудова такої мови передбачає адекватну теорію логічного аналізу. Безперечно, що для опису правильного мислення можна користуватися і природною і штучною мовами. Проте, передати, репрезентувати чітку й визначену форму думки, треба послуговуватись символічною мовою, оскільки природна мова не придатна для цієї ролі, бо містить у собі аморфність не тільки словника, а й правил побудови виразів та процедур надання їм значень. Більшість слів має не одне, а кілька значень, а один і той самий об’єкт може мати кілька імен або не позначити жодного і т. ін. Сказане не означає, що природна мова не годиться для логічних цілей і що її варто замінити чисто символічно системою знаків. Як відомо, природна мова виконує свої функції вираження, передачі та зберігання думок. Але, виконуючи вказані функції, природна мова не може чітко передати форму. Щоб логіка як наука могла виконувати свою методологічну функцію і розв’язувати власні завдання, вона об’єктивно зумовлена створити спеціальну штучну мову, побудовану за строго визначеними правилами. Зрозуміло, що ця мова аж ніяк не годиться для спілкування. Проте, основне завдання цієї мови – виявляти сутні логічні зв’язки між думками, і на цій підставі з’ясовувати проблему адекватності змісту форм мислення тій реальності, котра репрезентується цими формами.

Як правило, мова логіки будується без посилання на ту реальність, яку вона описуватиме. Тільки згодом вводяться правила надання значень комбінаціям знаків, вказується на їх інтерпретацію. Крім цього, відокремлення синтаксису і семантики мови логіки дозволяє чітко увиразнити поняття логічної вивідності чисто формально, не апелюючи при цьому до змісту сконструйованих і перетворених виразів. Оперування ідеальними смислами замінюється маніпуляцією знаками та їх комбінаціями. Вивідність певних ідей у такому випадку постає як логічне числення.

Ознайомившись з мовами наступних логічних систем, ви переконаєтесь в тому, що мова логіки виконує методологічну функцію – вона є засобом з’ясування зв’язку між формами мислення і тією ментальною (логічною) реальністю, яка відображає або відтворює об’єктивну реальність в її зв’язках та відношеннях.

1.1.МОВА ЛОГІКИ КЛАСІВ(МНОЖИН)

Головна мета цього навчального елемента полягає в тому, щоб осягнути базові поняття теорії множин (класів), її знакові (мовні) засоби та набуття навичок й умінь подання множин та їх запису, а також операцій над класами (множинами)*.

Перш ніж приступити до виконання вправ і розв’язування завдань, варто відновити набутий вами теоретичний матеріал про мову логіки класів, яку можна вважати історично першою символічною мовою, що призначалася для формалізації понять, точніше їхніх обсягів, а також з’ясування на формальному рівні відношень між класами (множинами), виявляння на цій підставі специфіки відношень між знаками (символами), їх методологічної функції в процесі конструювання множини чи класу, визначення закономірностей поєднання знаків, їх прагматичної ролі в постановці та розв’язуванні теоретико-множинних проблем.

Логіка класів – це особлива система, а заодно й метод, що лежить в основі теорії понять, без якої майже неможливо розумувати стосовно аналітико-дедуктивних процедур.

Повторення теоретичного матеріалу варто розпочати із з’ясування змісту базових понять даної логічної системи: множина (клас), підмножина (підклас), одиничний клас, елемент класу, порожній клас, універсальний клас, включення (невключення), належність (неналежність) елемента класу, підмножини множині, рівність (нерівність) класів (множин) та інших знакових засобів цієї логічної теорії.

Нагадаємо зміст вищевказаних понять.

Оскільки поняття «множина» є основним (невизначуваним), то пояснимо його на прикладах. Можна говорити про множину студентів певної академічної групи, про множину слів на одній із сторінок конкретної книги, про множину голосних чи приголосних українського алфавіту і т. ін. В математиці слово «множина» вживається замість слів, що характеризують певну сукупність предметів, хоча ця сукупність може містити лише один предмет, а то й жодного. Для нас важливо те, що предмети будь-якої природи (книги, будинки, вулиці, міста, країни, числа, геометричні фігури та ін.), що утворюють (складають) множину, називаються елементами множини.

Множини чи класи позначають великими літерами латинського алфавіту: А, В, С,... Невизначені елементи деякої довільної множини символізують малими літерами латинського алфавіту (з індексами і без них): x, y, z, ..., x₁, y₁, z₁, ... і т. ін. Визначені елементи множини записують малими літерами початку латинського алфавіту (з індексами і без них): а, в, с, d, ..., а₁, в₁, с₁, d₁, ... і т. ін.

Знаки Î та Ï символізують відповідно належність (неналежність) елемента певній множині чи класу. Те, що елемент а належить множині М записують так: а Î М (читається: «а належить множині М», або «а Î М»: «а є елементом множини М», або «а входить до множини М»). Неналежність елемента а множині М записують так: а Ï М (читається: «а не є елементом М», або «а не належить множині М», або «а не входить до множини М»). Аналогічно: х Î М, х Ï М.

Не забудьте про те, що питання належності чи неналежності предмета до певної множини постає дуже часто в найрізноманітніших сферах знання. Так, наприклад, кажучи про те, що Марчук М.Г. – професор, ми стверджуємо, що Марчук М.Г. належить до множини усіх професорів. Або якщо ми кваліфікуємо творчий доробок філософа як такий, що базується на методології позитивізму, то ми відносимо (приписуємо) його до множини (класу) позитивістів і т. ін.

У який же спосіб задаються і записуються множини? Коли множина вважається заданою?

Множину вважають заданою, якщо про кожний предмет можна з певністю сказати, чи належить він до цієї множини чи ні.

Ви пригадуєте, що множину можна задати переліком всіх її елементів. Якщо, наприклад, літерами а, в, с, d позначити різні предмети (об’єкти), то множину цих предметів записують так: А = {а, в, с, d} (читається: А – це множина, елементи якої а, в, с, d).

Не забувайте при цьому згадати, що кожний предмет (елемент) входить у множину чи клас тільки один раз.

Крім вищеназваного способу задання множини, є ще й інший спосіб. Суть його в наступному: формулюють загальну властивість (ознаку) предметів, з яких утворюватимуть множину. Цю ознаку прийнято називати характеристичною (особливою або специфічною). Цей спосіб використовують тоді, коли йдеться про більш загальний клас чи множину.

Якщо, наприклад, задається множина А натуральних чисел менших 7, то загальною ознакою (властивістю) усіх елементів множини А буде властивість «бути натуральним числом і меншим за число 7». Перелічити елементи цієї множини досить легко: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Запис множини, для елементів якої вказана характеристична ознака, здійснюється так: у фігурних дужках пишуть спершу позначення елемента, відтак проводять вертикальну риску, після якої записують властивість, яку мають елементи даної множини, і тільки вони. Таким чином, множину натуральних чисел менших 7 записують так: А = {х| х – натуральне, х < 7}.

Отже, для того, щоб задати певну множину, треба перелічити її елементи, або вказати специфічну ознаку її елементів. Зауважимо, що перерахувати елементи множини можна тоді і тільки тоді, коли їх скінченна кількість, а вказати загальну (спільну) ознаку чи властивість елементів множини можливо навіть тоді, коли число елементів скінчене і нескінчене. Це не означає, що для запису нескінченних множин неможливо використати перший вид запису. Так, наприклад, множину натуральних чисел N можна репрезентувати у вигляді: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Але такий запис можливий тоді, коли видно, що приховується за крапками.

Завдання, в умові яких вимагалося вказати множину, елементи якої мають задану властивість, вам доводилося розв’язувати тоді, коли ви були ще школярами. Ці завдання формулювались так: «Підкресліть у цьому уривку тексту роману «Хліб і сіль» М.Стельмаха усі дієслова»; «Випишіть із цієї вправи усі іменники чоловічого роду»; «Назвіть усі голосні букви українського алфавіту» і т. ін.

Часто серед множин подибуються такі, що не містять жодного елемента. Причин з’яви таких множин чимало: одні з них пов’язані з побудовою теоретичної системи, інші мають суб’єктивний характер. Так, наприклад, вам треба скласти реєстр (список) студентів вашого факультету, які грають в хокей на льоду, тобто утворити множину студентів-хокеїстів. Насправді такі студенти на факультеті не навчаються. Отже, множина Х не містить жодного елемента. Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою (пустою) і позначається знаком (символом) порожнього класу Ø.

Позначимо літерою А сукупність президентів, які є космонавтами. Нині відсутня будь-яка інформація про те, що хтось із президентів є космонавтом, тому множина А не містить жодного елемента. Цю ситуацію подають символічно так: А = Ø. До речі, порожні класи (множини), наприклад А та В, можуть бути рівними, але за умови: якщо х Ï А, то х Ï В і, навпаки, якщо х Ï В, то х Ï А. На основі принципу еквівалентності множин (класів) мусимо визнати, що множини (класи) А та В є рівними: А = В.

Таким чином, ми підійшли до поняття рівності множин (класів). Зауважимо, що проблема рівності множин не є тривіальною, оскільки з відношення рівності випливає ряд властивостей взаємозв’язку між множинами.

Ми вже знаємо, що рівними є ті і тільки ті множини (класи), котрі містять одні й ті ж самі елементи. Рівність множин чи класів записують так: А = В. Наприклад, множина А = {1, 3, 5, 7} і В {7, 5, 3, 1} рівні, оскільки складаються з однакових елементів. Пам’ятайте, що множина не змінюється, якщо переставити місцями її елементи.

З означення рівності множин (класів) випливають такі властивості: (а) А = А; (б) Якщо А = В, то В = А; (в) Якщо А = В, В = С, то А = С. Запис А ≠ В означає, що принаймні одна із множин містить елемент, який не належить одній із двох множин. Щоб обґрунтувати рівність довільних множин А та В, треба встановити, що кожний елемент множини А є елементом множини В і навпаки. Для цього досить перевірити: (1) коли х Î А, то х Î В; (2) коли х Î В, то х Î А. Нагадаємо, що обґрунтувати рівність класів (множин) можна відомим вам принципом еквівалентності.

У контексті викладеного вище напрошується питання про те, що таке підмножина. Множина В є підмножиною множини А в тому і тільки в тому випадку, коли кожний елемент множини В належить множині А. Цю ситуацію записують так: В Ì А (або А É В) і читають: «Множина В є підмножиною А». Знак Ì вживається для позначення зв’язку між множинами, який виражається словосполученням «є підсистемою».

Нехай А – множина усіх студентів Чернівецького національного університету, а В – множина студентів філософсько-теологічного факультету цього ж таки університету. Очевидно, що множина В входить у множину А. У цьому випадку множину В називають підмножиною множини А.

Прийнято вважати, що кожна множина А є підсистемою самої себе: А Ì А, а також і те, що порожня множина Ø є підмножиною будь-якої множини А: Ø Ì А.

Неабияке значення в теорії множин (класів) має знання про власні й невласні підмножини тієї чи тієї множини для розв’язування певних завдань. Тому ви маєте знати наступне: будь-яка непорожня підмножина В множини А, яка не співпадає з А, називається власною підмножиною. Підмножини А та Ø називаються невласними підмножинами множини А.

Розглянемо цю ситуацію на прикладі.

Множина А = {2, 4, 8} має такі підмножини: {2}, {4}, {8}, {2, 4}, {2, 8}, {4, 8}, {2, 4, 8}, {Ø}. З цих восьми підмножин останні дві підмножини {2, 4, 8} та {Ø} є невласними підмножинами множини А, а решта шість підмножин є власними підмножинами множин А.

Для коректної формалізації відношення між підмножиною і множиною, маємо навчитись розрізняти власні і невласні підмножини певної множини. Якщо підмножина В строго включається у множину А (В Ì А; де А ≠ В), то в цьому випадку В є власною підмножиною А. Якщо має місце широке включення, тобто В Í А (читається: множину В включено в множину А), то це означає, що кожний елемент множини В є елементом множини А, при цьому В називається підмножиною, а множина А – надмножиною (або метамножиною). Таке включення не виключає, що В = А. Такі множини називаються невласними. Отже, якщо має місце широке включення, то множина В є невласною підмножиною А.

Інакше кажучи, якщо властивості, якими задані певна множина та її підмножина, співпадають (є одними й тими ж), то ці множини будуть рівними. Тому вважається, що множина є частиною самої себе (іноді кажуть «повною частиною»). Якщо ж властивість, якою задана певна підмножина, суперечить властивості, якою задана сама множина, то дана підмножина буде порожньою. А тому порожня множина є частиною будь-якої множини. Повну й порожню множини називають невласними підмножинами, а решту підмножин – власними. Пам’ятайте, що число підмножин певної множини можна обчислити за формулою m = 2ⁿ (де n – число елементів). Ця формула знадобиться нам для розв’язування певного типу завдань.

Нагадаю, що підмножинами ми оперуємо постійно, виділяючи частини різних сукупностей предметів чи понять. Умінню виділяти частини тієї чи тієї множини ми вчимося, починаючи зі шкільної лави, а може й раніше. Так, на уроках української (чи іншої мови), ви виконували вправи з такими умовами: «Підкресліть у цьому реченні усі прикметники»; або у вузі, досліджуючи, наприклад, роль прийменникових зворотів у поезії Д.Павличка «Пелюстки і леза», ставили собі завдання: «Виділіть серед різних прийменникових зворотів ті, які містять прийменник «в» та ін.; або, наприклад: «Виділіть у множині світових релігій ті, котрі належать до нетрадиційних». В буденності нам також доводиться оперувати поняттям підмножини: множина реліктових будинків по вул. Головній є підмножиною множини всіх будинків м. Чернівці; множина стільців 26 аудиторії VІ корпусу ЧНУ є підмножиною множини всіх аудиторних стільців ЧНУ і т ін.

І останнє: зверніть увагу на поняття універсальної множини та її особливості. Ми, як правило, забуваємо про це. Зауважимо, що ситуації, в яких усі множини розглядається як підмножини однієї і тієї ж множини (символ універсуму), дуже часті. Такі множини називаються універсальними, символічно їх позначають літерою U. Отже, якщо U – множина усіх студентів певного університету, то підмножини (студенти факультетів А, В, С) постають як підмножини цієї ж універсальної множини. Включеність підмножини в універсальній клас чи множину записують символічно так: А Ì U, В Ì U, С Ì U і т. ін. Аналогічно, нехай А – множина тих студентів, котрі набувають кваліфікації філософа, В – множина тих, хто готується стати соціологом, С – множина тих, хто хоче стати релігієзнавцем, Д – множина тих, хто присвятив себе теології. Перелічені множини {А, В, С, Д} можна розглянути як підмножини однієї множини – множини студентів філософсько-теологічного факультету ЧНУ.

Отже, відновивши шляхом повторення навчального матеріалу, базові поняття, терміни, символи навчального елемента «Мова логіки класів», ви можете приступати до виконання вправ і розв’язування завдань. У випадку, якщо цих знань виявиться замало, то цей навчальний елемент передбачає знайомство із рекомендованою до нього літературою, яка охоплює майже увесь зміст цього навчального елемента.

Завдання. Визначте вид поняття за обсягом: «сузір’я», «перший президент України», «президент», «відьма».

Зразок відповіді. Як відомо, обсяг поняття – це множина або клас предметів, кожен з яких має ознаки (-у), відображені в змісті поняття. Згідно з означенням (визначенням), зазначені в умові завдання поняття належать до таких видів: «сузір’я» – загальне, збірне; «перший президент України» – одиничне; «президент» – загальне; «відьма» – нульове, або поняття з порожнім класом.

Завдання. Подайте 2-3 довільні скінченні класи переліком всіх елементів або підкласів.

Відповідь. Клас «президент України» містить такі елементи класу {М.Грушевський, Л.Кравчук, Л.Кучма, В.Ющенко}. Клас планет Сонячної системи складається з елементів {Земля, Марс, Венера, Юпітер, Сатурн, Меркурій, Уран, Нептун, Плутон}.

Клас умовиводів містить підкласи {необхідні умовиводи, правдоподібні умовиводи}.

Завдання.Чи буде множина (клас) усіх рівносторонніх прямокутників (А) власною підмножиною (підкласом) усіх прямокутних ромбів (В). Як записати символічно, що А включено в В?

Відповідь.Оскільки множини А та В рівні, тобто А = В, то включення множини А в множину В матиме такий вигляд: А Í В (читаємо: «Клас (множина) А включений (-а) в клас В»).

Завдання. Наведіть два-три приклади понять, в яких відображено відношення між обсягом та запишіть їх символічно, послуговуючись мовою логіки класів (множин).

Відповідь.(а) «Рівносторонній прямокутник» (А) і «прямокутний ромб» (В): А = В;

(б) «Українська мова» (А) і «природна мова» (В): А Ì В;

(в) «Українська мова (А), «світова мова» (В), «мова» (С):

Якщо А Î В, В Î С, то А Î С.

Завдання. Наведіть приклад множин (класів) А, В, С, де А Î В, В Î С, і А Î С. Відповідь обґрунтуйте.

Зразок відповіді.«Сократ» (А), «Людина» (В), «Смертний» (С). Оскільки ці множини пов’язані між собою відношенням транзитивності, то якщо А Î В, В Î С, то А Î С.

Зауважимо, що ви можете дати інший варіант відповіді та її обґрунтування.

Завдання. Запишіть символічно належність (неналежність) елементів 6, 28, 17, ⅔, множині парних натуральних чисел А.

Відповідь. 6 Î А; 28 Î А; 17 Ï А; ⅔ Ï А.

Вправа. Як можна назвати множину артистів, що працюють в одному театрі?

Відповідь. {Трупа}.

Вправа. Запишіть множину А натуральних чисел, меншу 7.

Відповідь.А ={х \/ х – натуральне, х < 7}.

Вправа. Чи є рівними множини (класи) А та В:

А = {3, 5, 7, 9}, В = {7, 3, 9, 5}?

Відповідь. Множини А та В є рівними (А = В), оскільки вони складаються з однакових елементів: 3, 5, 7, 9.

Вправа. Запишіть множину різних букв у слові ‹параграф›.

Відповідь.Множиною різних букв у слові‹параграф› є {п, р, г, ф}.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1.Що таке клас (множина)?

2.Чому визначення множини, дане Г.Кантором, не є бездоганним?

3.Якими літерами (буквами, символами) позначають множину чи клас?

4.Чи можна вважати множиною сукупність реально існуючих предметів?

5.Як співвідносяться між собою поняття «клас», «множина», «обсяг», «сукупність», «загін», «колекція» та їм подібні?

6.Чи є загальноприйняті назви множин?

7.Що таке елементи множини (класу)?

8.Якими літерами (символами) позначають елементи множини?

9.Якими символами позначають належність елемента множині?

10. Якими літерами позначають множину множин?

11. Яким знаком позначають неналежність елемента множині?

12. Які множини (класи) вважаються рівними?

13. Які властивості випливають з визначення рівності множин?

14. У який спосіб обґрунтовується рівність довільних множин?

15. Що таке підмножина (підклас)?

16. Яка множина називається правильною частиною множини?

17. Якими символами позначають включення підмножини в множину?

18. Чи різняться між собою символи включення і належності?

19. Як обґрунтувати включеність одного класу в інший?

20. Що таке порожня множина або пустий клас?

21. Яким символом позначається порожній клас?

22. Як записати факт порожньої множини?

23. Що таке універсальна множина?

24. Яким символом позначається універсальна множина чи клас?

25. Що означає «задати клас» чи «задати множину»?

26. Чи має принципове значення порядок виписування елементів класу чи множини?

27. Які знаки використовуються для запису множини?

28. В який спосіб задаються класи чи множини?

29. Що таке «характеристична властивість»?

30. Чи може відповідати одній і тій самій множині кілька форм?

Поиск по сайту: