ЛОГІЧНІ ОПЕРАЦІЇ НАД КЛАСАМИ (МНОЖИНАМИ) ПОНЯТЬ

Логічні операції над класами чи обсягами понять завер­шують навчальний елемент, логічні дії над обсягами понять. Щоб здійснити операції над класами понять, використовуючи при цьому основні закони логіки класів, необхідно добре простудіювати тематичний матеріал до відповідного елемента змістового модулю «Поняття», щоб звикнути не тільки до символіки та її інтерпретацій, але й усвідомити практичну доцільність цих операцій.

Передусім нагадаємо, що операції над класами можна здійснювати у тому випадку, коли та чи інша властивість предметів, явищ, станів мислиться у широкому розумінні і є водночас усталеною і чітко розрізнюваною.

Оскільки не в усіх підручниках з формальної логіки по­дається "логіка класів", то коротко нагадаємо її алфавіт, опе­ратори і закони логіки класів. Великими літерами початку латинської абетки (А, В, С...) будемо позначати класи, які визначають зміст понять-імен чи класу предметів Відсутність властивості чи якості позначатимемо символами із запереченням — ~а , ~В, ~С, ~D і т. ін.

Знаком рівності «=« позначимо рівнозначність або то­тожність виразів (напр., А = В означає, що якість, позначе­на А, тотожна з якістю, позначеною В). Логічну суму позначимо оператором об'єднання класів — U (мовний еквівалент — сполучник або). Наприклад, A U В — (або якість A, або якість В, або ці якості разом). Логічний добуток позначимо через оператор перетину класів — ∩(напр., A ∩ B означає перетин якості А і В; ~А ∩ В означає відсутність якості А і наявність якості В).

Операції над класами (перетину чи об'єднання) підляга­ють таким законам логіки класів (або правилам):

1. Закон тотожності: А = А;

2. Закон суперечності: А ∩ ~А = Ø;

3. Закон виключеного третього: A U ~A = U; A = (A ∩ B) U (A ∩ ~B);

4. Закон комутативності: A ∩ B = B ∩ A; A U B = B U A;

5. Закон асоціативності:

А ∩ (B ∩ C) = (A ∩ В) ∩ C; A U (B U C) = (A U B) U C;

6. Закон дистрибутивності:

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C); A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C);

7. Закон ідемпотентності (закон спрощення): A ∩ A = A, A U A = A;

8. Закон зняття подвійного заперечення: ~ ~А = А;

9. Закони де Моргана: A ∩ В = ~А U ~; A U B = ~А ∩ ~В;

10. Закон поглинання: A∩ (A U B) = A; A U (А ∩ В) = А;

11. Закон доповнення порожнього (пустого) класу й універсальної множини:

~Ø = U; ~U = Ø;

12. Закон перетину й об'єднання певного класу з по­рожнім та з універсальною множиною (класом): A ∩ Ø = 0; Α ∩ U = Α; A U Ø = A; AU U = U.

Різні види вправ і типи завдань вимагають використання певних законів. До того ж треба мати на увазі й те, що сто­совно операцій перетину і об'єднання закони алгебри класів підлягають принципу двоїстості: якщо в будь-якій вірній то­тожності (законі) алгебри класів усі знаки перетину заміни­ти знаками об'єднання, а всі знаки об'єднання — знаками перетину, знак універсального класу замінити знаком по­рожнього класу, а знак порожнього класу — знаком універ­сального, то отримаємо завжди вірну тотожність або закон. Згідно з цим принципом A ∩ ~A = Ø, Α U ~Α = U

Щоб здійснити певну операцію над класами, необхідно визначити кількість класів, що входять до того чи іншого ви­разу. Відтак визначити множину можливих відношень між класами за формулою т = 2ⁿ, де т — клас логічно можли­вих відношень між класами, a n — кількість класів. Клас логічно можливих відношень між класами визначають шля­хом застосування закону виключеного третього

(А = А ∩ В ∩ А ∩ ~В) (варіант для логіки класів). Так, на­приклад, для двох понять клас логічно можливих відношень складають 4 відношення, а саме:

А ∩ В, А ∩ ~В, ~A ∩ B, ~A ∩ ~B

Для трьох понять — 8 відношень:

А ∩ В ∩ С, А ∩ В ∩ ~С, А ∩ ~В ∩ С, А ∩ ~В ∩ ~С, ~A ∩ B ∩ С, ~А ∩ В ∩ ~С, ~А ∩ ~В ∩ С, ~A ∩ ~В ∩ ~С, для чотирьох понять —16, для 5-ти понять — 32 і т.д.

Єдиним правилом виводу є правило підстановки: замість будь-якого класу можна підставити той, який має та­кий же зміст (значення), що й вихідний клас. Цей клас по­значається або однією буквою, або сполученням букв (пере­тином чи об'єднанням класів).

Завдання:Виявити за даними умовами А = А ∩ B i С = С ∩ ~В сумісні та несумісні сполучення класів А, В, С. Галузь інтерпретації така: нехай А позначає клас студентів, В – клас відмінників, C – клас спортсменів.

Відповідь: Сумісними із заданими умовами сполученнями даних класів А, В, С будуть наступні:

А ∩ В ∩ ~С, ~А ∩ В ∩ ~С, ~А ∩ ~В ∩ ~С.

Несумісними з даними сполученнями будуть сполучен­ня, які в результаті підстановки стали порожніми, а саме:

А ∩ В ∩ С, А ∩ ~В ∩ С, А ∩ ~В ∩ ~С, ~A ∩ ~B ∩ ~C. На заданій інтерпретації непорожніх класів, ми отри­маємо такі результати сумісних відношень:

A ∩ B ∩ ~C - студенти-відмінники, які не є спортсменами;

~Α ∩ Β ∩ ~С - відмінники, які не є ні студентами, ні спортсменами;

~Α ∩ ~Β ∩ С - спортсмени, які не є ні студентами, ні відмінниками;

~Α ∩ ~Β ∩ ~С - молоді люди, які не є ні студентами, ні відмінниками, ні спортсменами.

Результати розв'язку завдання можна подати графічно, за допомогою кіл Ейлера:

А — студент

В — відмінник

С — спортсмен

Класи: 2, 6, 7, 8 є сумісними з умовами А = А∩В і C = C∩ ~B; класи: 1, 3, 4, 5 є несумісними з умовами A = A∩B і C = C∩~B.

Щоб отримати даний резуль­тат, необхідно здійснити ряд логічних дій над класами, використовуючи при цьому знання основних законів логіки класів: комутативності, суперечності, ідемпотентності (поглинання), перетину будь-якого класу (множини) на порожній клас і т. ін.

Спершу розписуємо можливі відношення трьох класів і з'єднуємо їх оператором об'єднання класів — U:

1. А ∩ В ∩С.

2. А ∩ В ∩ ~С.

3. A ∩ ~B ∩ C.

4. A ∩ ~B ∩ ~C.

5. ~A ∩ B ∩ C.

6. ~A ∩ B ∩ ~C.

7. ~A ∩ ~B ∩ C.

8. ~A ∩ ~B ∩ ~C

А ∩ В ∩ С U А ∩ В ∩ ~С U А ∩ ~В ∩ С U А ∩ ~В ∩ ~С U ~А

∩ В ∩ С U U ~А ∩ В ∩ ~С U ~А ∩ ~В ∩ С U ~А ∩ ~В ∩ ~С

Далі робимо підстановку заданих умов А = А ∩ В і С = С ∩ ~В у ті сполучення, де ця підстановка можлива.

Застереження. Якщо одна з підстановок дає порожній клас (Ø), то друга підстановка не робиться в цьому класі. У випадку, коли одна із підстановок має не порожній клас, потрібно зробити другу підстановку.

Почнемо з першого випадку — А ∩ В ∩ С. Якщо замість А підставимо перетин Α ∩ Β, то отримаємо вираз А ∩ В ∩ В ∩ С. Застосовуючи закон ідемпотентності (А ∩ А = А)щодо перетину класів (В ∩ В), отримаємо сполучення А ∩ В ∩ С. Отже, підстановка А ∩В у вираз А ∩ В ∩ С не змінила його. Водночас здійснюємо підстановку умови С = С ∩ ~В в отримане після першої підстановки сполучення А ∩ В ∩ С. Замість С підставимо С ∩ ~В й отримуємо А ∩ В ∩ С ∩ ~В. Користуючись законом комутативності записуємо дане сполучення так: А ∩ С ∩ В ∩ ~В. Далі бачимо, що до перетину класів В ∩ ~В можна застосувати закон супереч­ності (А ∩ ~А = Ø) і отримати А ∩ С ∩ Ø. Використовуючи закон перетину будь-якої множини на порожній клас (A ∩ Ø = Ø), ми отримаємо порожній клас (Ø). Отже, в ре­зультаті другої підстановки, ми маємо порожню множину, а це означає, що друга умова (C = С ∩ ~В) єнесумісною з даним членом (A ∩ B ∩ C) об'єднання класів.

Далі беремо другий член об'єднання класів А ∩ В ∩ ~С і робимо підстановку в А перетин A ∩ B В результаті отримуємо A ∩ B ∩ B ∩ ~C Застосовуючи закон ідемпотентності до виразу В ∩ В даної формули, отримаємо Α ∩ Β ∩ ~С , тобто вихідне сполучення. Це означає, що дане сполучення або клас логічного відношення між А, В, С сумісний з умовою А = А ∩ В.

Переходимо до наступного відношення А ∩ ~В ∩ С здійснюємо підстановку в А вираз А ∩ В, одержимо A ∩ B ∩ ~B ∩ C. Знову застосовуємо закон суперечності до виразу В ∩ ~Β і отримуємо А ∩ Ø ∩ С. Використовуючи за­кон комутативності маємо вираз A ∩ C ∩ Ø. Оскільки перетин будь-якої множини на порожній клас дає порожній клас, то зрештою отримуємо порожній клас: A ∩ C ∩ Ø = Ø. Отже, і дане відношення несумісне із заданою умовою. Оскільки ми отримали Ø, то другу підстановку умови С = С ∩ ~Β не робимо.

Відтак переходимо до відношення — A ∩ ~Β ∩ ~С і робимо підстановку в А умови A = A ∩ B і отримуємо Α ∩ В ∩ ~Β ∩ ~С. Застосовуючи закон комутативності до даного сполучення, отримуємо A ∩ ~C ∩ B ∩ ~B, що дає можливість застосувати до виразу В ∩ ~В закон суперечності й отримати порожній клас В ∩ ~В = Ø. Тоді сполучення записуємо так: A ∩ ~C ∩ Ø = Ø .

Нарешті беремо відношення ~A ∩ B ∩ C і підставляємо другу умову (С = С ∩ ~В) в С, що дає нам ~А ∩ В ∩ С ∩ ~В. Використовуючи закон суперечності до перетину В ∩ ~Β , отримуємо порожній клас Ø. В результаті вираз набере вигляду А ∩ С ∩ Ø, що аналогічно попередньому, дасть порожній клас: А ∩ С ∩ Ø = Ø. Отриманий результат свідчить, що підстановка умови С = С ∩ ~В у С веде до несумісності класів A, B, С. Оскільки у відношенні ~Α ∩ Β ∩~ С не можна здійснити підстановки, бо не має позитивного ні А, ні С, то наступне відношення ~А ∩ В ∩ ~С або вираз полишаємо без зміни. Це свідчить про сумісність умови з даним відношенням.

Насамкінець здійснюємо підстановку C ∩ ~B у відношення ~Α ∩ ~Β ∩ С і отримуємо сполучення ~Α ∩ ~Β ∩ С ∩ ~Β , яке згідно із законом ідемпотентності стосовно ~B ∩ ~B дає вихідне відношення — ~Α ∩ ~Β ∩ С. В останньому сполученні підстановка неможлива, оскільки всі класи є заперечними, тому вираз залишається без зміни.

Безперечно, що здійснення тих чи інших підстановок у певні формули в кожному конкретному випадку вимагатиме використання різних законів логіки класів та їх порядку.

Тобто у кожному конкретному випадку загальний алгоритм розв'язування подібного типу завдань залишається одним і тим же, але процедурні моменти можуть видозмінюватись залежно від умов і складу сполучення, формули.

Якщо відкинути вербальність у вищенаведеному описі процедури розв'язання цього завдання, то в "чистому" вигляді вона виглядатиме так:

1. Α ∩ Β ∩ С = Α ∩ Β ∩ Β ∩ С = Α ∩ Β ∩ С = Α ∩ Β ∩ С ∩ ~В = А ∩ С ∩ Ø = Ø.

2. A ∩ B ∩ ~C = Α ∩ Β ∩ Β ∩ ~С = A ∩ B ∩ ~C.

3. A ∩ ~B ∩ C = Α ∩ Β ∩ ~Β ∩ С= Α ∩ С ∩ В ∩ ~В = Α ∩ С ∩ Ø = Ø.

4. A ∩ ~B ∩ ~C = Α ∩ Β ∩ ~Β ∩ ~С = Α ∩ Ø ∩ С = Α ∩ С ∩ Ø = Ø.

5. ~A ∩ B ∩ C = ~Α ∩ Β ∩ С ∩ ~Β = ~Α ∩ С ∩ В ∩ ~Β = Α ∩ С ∩ Ø = Ø.

6. ~A ∩ B ∩ ~C.

7. ~A ∩ ~B ∩ C = ~Α ∩ ~Β ∩ С ∩ ~Β = ~A ∩ ~B ∩ C.

8. ~A ∩ ~B ∩ ~C.

Отже, в результаті обох підстановок 1, 3, 4 і 5 перетворились у порожні. Оскільки об'єднання непорожніх класів з порожніми дає непорожні класи (за законом об'єднання будь-якого класу з порожнім ( AUØ=А) дає той самий клас), то можна дійти висновку, що умови А = А∩В і C=C∩B~B сумісні із сполученнями.

На цьому процедура розв'язання завдання завершується.

Якщо в попередньому завданні ми знаходили за даними умовами сумісні і несумісні сполучення класів А , В, С, то наступний тип завдань стосується знаходження умов, за яких певні сполучення класів є сумісними і несумісними.

Завдання: Дано логічно можливі сполучення A ∩ B ∩ ~C, A ∩ ~B ∩ ~C, ~A ∩ ~B ∩ C, ~A ∩ ~B ∩ ~C і логічно неможливі сполучення A ∩ B ∩ C, ~A ∩ B∩ CA ∩ B∩ CA ∩ B∩C. Визначити умови, за яких дані сполучення є логічно сумісними і логічно несумісними.

Щоб віднайти ці умови, чинимо так: із списку логічно неможливих беремо ті, які містять клас А, а саме: A∩B∩C і A∩~B∩C. Застосовуючи до класу А закон виключеного третього: отримаємо А = A ∩ B U А ∩ ~B (першу рівність). Відтак застосовуємо цей же закон до кожного члена правої частини рівності:

A ∩ B = A ∩ B ∩ C U A ∩ B ∩ ~C (друга рівність) і

A ∩ ~B = A ∩ ~B ∩ C U ∩ ~B ∩ ~C (третя рівність).

Нарешті, підставляючи другу і третю рівності в першу, отримуємо А за В і С, а саме:

А = A ∩ B ∩ C U A ∩ B ∩ ~C U A ∩ ~B ∩ С U А ∩ ~B ∩ ~C.

Згідно з умовою завдання, єдино можливими членами утвореної рівності є A ∩ B ∩ ~C і A ∩ ~B ∩ ~C. Сполучення A ∩ B ∩ C і A ∩ ~B ∩ C відсутні серед сумісних через певні умови. Отже, розкладом А буде лише А ∩ В ∩ ~С U А ∩ ~В ∩ ~С За законом виключеного третього цей розклад можна записати так: А = А ∩ ~С. Скорочено пошук отриманої умови можна подати у такому вигляді:

А = А ∩ В U А ∩ ~В

A ∩ B = A ∩ B ∩ C U ∩ B ∩ ~C

A ∩ ~B = A ∩ ~B ∩ C U A ∩ ~B ∩ ~C

А = A ∩ B ∩ C U A ∩ B ∩ ~C U A ∩ ~B ∩ C U A ∩ ~B ∩ ~C

А = A ∩ B ∩ ~C U ∩ ~B ∩ ~C

А = А ∩ ~C є шукана умова.

Аналогічно отримаємо розклад ~А:

~A = ~ A ∩ B U ~A ∩ ~B

~A ∩ B = ~A ∩ B ∩ C U A ∩ B ∩ ~C

~A ∩ ~B = ~A ∩ ~B ∩ C U ~A ∩ ~ B ∩ ~C

~A = ~A ∩ B ∩ C U A ∩ B ∩ ~C U ~A ∩ ~B ∩ C U ~A ∩ ~B ∩ ~C.

Вилучаємо логічно неможливі сполучення за умовою за­вдання, тобто ~A ∩ B ∩ C і ~A ∩ B ∩ ~C і залишаємо логічно можливі, а саме: ~А = ~А ∩ ~В ∩ С U ~А ∩ В ∩ ~С. Звідси отри­муємо за законом виключеного третього ~А = ~A ∩ ~Β — друга умова, яка дає логічно несумісні сполучення класів А, В, С. За цим зразком можна розкласти будь-який вираз за двома будь-якими буквами та їх запереченнями.

Для перевірки правильності розв'язку цього завдання переформулюємо його в перший тип завдання і за знайденими умовами А = А ∩ ~С і ~A = ~A ∩ ~B знайдемо сумісні і несумісні сполучення класів А, В, С.

1. A ∩ B ∩ C = A ∩ ~C ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ C ∩ ~C = A ∩ B ∩ Ø = Ø.

2. A ∩ B ∩ ~C = A ∩ ~C ∩ B ∩ ~C = A ∩ B ∩ ~C.

3. A ∩ ~B ∩ C = A ∩ ~C ∩ ~B ∩ C = A ∩ B ∩ ~C ∩ C = A ∩ B ∩ Ø = Ø.

4. A ∩ ~B ∩ ~C = A ∩ ~C ∩ ~B ∩ ~C = A ∩ ~B ∩ ~C.

5. ~A ∩ B ∩ C = ~A ∩ ~B ∩ B ∩ C =~A ∩ Ø ∩ C = A ∩ C ∩ Ø = Ø.

6. ~A ∩ B ∩ ~C = ~A ∩ ~B ∩ ~B ∩ C = ~A ∩ Ø C =~A ∩ C ∩ Ø = Ø.

7. ~A ∩ ~B ∩ C =~A ∩~B ∩ ~B ∩ C= ~A ∩ ~B ∩ C.

8. ~A ∩ ~B ∩ ~C = ~A ∩ ~B ∩ ~B ∩ ~ C = ~A ∩ ~B ∩ ~C.

Отже, логічно сумісними сполученнями класів А, В, С за знайденими умовами будуть 2, 4, 7, 8, логічно несумісними за даних умов є вирази 1, 3, 5, 6. Тобто, єдино можливі сполучення (2, 4, 7, 8) за перевіркою співпадають з логічно можливими сполученнями за умовою завдання (Α ∩ Β ∩ ~С, А ∩ ~В ∩ ~С A ∩ B ∩, ~A ∩ ~В ∩ С і ~А ∩ ~В ∩ ~С). Так само співпадають логічно неможливі вирази (1, 3, 5, 6) з отриманими в результаті перевірки (A ∩ B ∩ С, А ∩ ~В ∩ С, ~A ∩ B ∩ C і ~A ∩ B ∩ ~C).

Задачі подібного типу розв'язуються простим методом. Спершу з даних сполучень вибираємо позитивні. Відтак ці сполучення об'єднуємо знаком об'єднання класів — U, роз­кладаємо даний вираз, використовуючи закон (правило) ви­ключеного третього, і спрощуємо його за відповідними зако­нами логіки класів. Аналогічно чинимо із запереченням обраного для аналізу виразу. В такий спосіб отримаємо умови, які зв'язують дані класи*.

Існують й інші методи з'ясування логічної сумісності чи несумісності сполучень класів за відомими умовами, а також знаходження умов їх логічної сумісності чи несумісності, їх опис можна знайти у наявній літературі з логіки класів або логіки множин*.

Готуючись до практичних занять, бажано постійно або в разі потреби перевіряти рівень своєї теоретичної підготовки до певного змістового модулю чи навчального елемента.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

Зразок підсумкових запитань для самоконтролю:

1. Що таке поняття як форма мислення (думки) ?

2. Що таке ознака — істотна, неістотна, родова, видова?

3. Що таке властивість предмета і відношення між предметами?

4. У чому полягає зв'язок між поняттям і словом, іменем і словом? В чому їх відмінність?

5. Чи є ім'я формою вираження поняття і які бувають імена?

6. Який зв'язок існує між: поняттям та іменем?

7. Що таке зміст і обсяг поняття, в якому зв'язку вони перебувають ?

8. У чому суть операції обмеження й узагальнення?

9. На які види поділяються поняття за обсягом і змістом?

10. Що означає дати повний логічний аналіз поняття?

11. Які ви знаєте типи відношень між: поняттями?

12. В чому полягає операція поділу поняття?

13. Яких правил треба дотримуватись, здійснюючи операцію поділу?

14. Які види поділу ви знаєте?

15. Що таке класифікація як вид поділу?

16. В чому полягає відмінність між природною (науковою) і допоміжною (ненауковою) класифікацією?

17. В чому суть логічної операції визначення поняття?

18. Які вимоги логіки до операції визначення поняття?

19. Чим явні визначення відрізняються від неявних?

20. У чому суть операцій перетину, об'єднання, різниці класів та доповнення до класу?

21. В чому полягає проблема розв'язуваності для логіки класів?

Поиск по сайту: