Мои Конспекты
Главная | Обратная связь

...

Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

I O логічним квадратом.

⇐ ПредыдущаяСтр 21 из 71Следующая ⇒




Помощь в ✍️ написании работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нехай нам треба розв'язати таке завдання:Визначити за допомогою логічного квадрату відношення між наступними парами суджень: "Усі птахи відлітають взимку в теплі краї" і "Жоден птах не відлітає взимку в теплі краї"; "Усі метали — електропровідні" і "Деякі метали не є електропровідними".

Перш ніж приступити до розв'язання даного завдання, ми мусимо пригадати, за яких умов категоричні судження типу А, Е, І, О можуть бути істинними, а за яких — хибни­ми. Для систематизації та наочного уявлення цих відношень малюємо логічний квадрат. Сторони і діагоналі квадра­ту вказують на вид відношення між судженнями А, Е, І, О, зу­мовлений формальнологічними аксіомами. Залежність між судженнями А, Е, І, О за істиннісним значенням умовно подаємо через імплікацію, тобто сполучник "якщо..., то...", а символами "і" та "х" — логічне значення ("істина", "хиба"). Так, протилежні судження А та Е не можуть бути одночасно істинними. Про­те вони можуть бути одночасно хибними. Наприклад: "Усі планети обертаються навколо Сонця" (хибне) і "Жодна планета не обертається навколо Сонця" (хибне). Отже, А(і) → Е(х) і Е(і) → А(х) читаємо: "Якщо А істинне, то Е хибне", і "Якщо Е істинне, то А хибне".

Суперечні судження А — О, Е — І не можуть бути одно­часно ні істинними, ні хибними:

А(х) → О(і), О(і) →А(х);

Е(х) → І(і), І(і) →Е(х);

А(і) → О(х), О(х) →А(і);

Е(і) → І(х), І(х) → Е(і);

Підпротилежні судження (І — О) не можуть бути одно­часно хибними: І(х) → О(і), О(х)→ І(і); І(і) → О(і) або О(х), О(і) → І(і) або І(х).

Судження А — І, Е — О перебувають у відношенні підпо­рядкування. Ці відношення характеризуються наступними залежностями: А(і) → І(і), Е(і) → О(і), А(х) → І(х),

Е(х )→ О(х), І(х) → А(х), О(х) → Е(х). Але: І(і) → А(і) або А(х); О(і) → Е(і) або Е(х).

Тепер ми можемо приступити до розв'язання нашого за­вдання.

Зразок відповіді.Судження "Всі птахи відлітають влітку в теплі краї" (А) і судження "Жоден птах не відлітає влітку в теплі краї" (Е) перебувають у відношенні проти­лежності (або контрарності). У даному конкретному випадку судження Е є істинним, а судження А — хибним. Щоб упевнитись у правильності відповіді, треба виявити за логічним квадратом відношення між ними за істиннішим значенням. Перевірку правильності відповіді можна здійснити таким чином: Е(і) → О(і),оскільки між ними існує відношення підпорядкування. Далі, О(і) → А(х), бо між ними відношення суперечності; А(х) → І(х) або І(і), бо вони перебувають у відношенні підпорядкування. Як­що І(х) → Е(і); якщо І(х) → А(х). Отже, якщо Е(і) → А(х). Що і треба було довести. Аналогічно чинимо з наступною парою суджень.

З'ясовуючи відношення між судженнями за істиннішим значенням, треба чітко розрізняти протилежні і суперечні судження. За для цього необхідно засвоїти операцію запере­чування суджень. Нагадаємо, що заперечування — це логічна операція, що полягає в перетворенні структури судження, в результаті чого з вихідного судження отримуємо нове суд­ження, яке є істинним, якщо вихідне хибне, і хибним, якщо вихідне істинне. Цю операцію відображає унарне відношен­ня: якщо А – істинне, то не-А – хибне, і навпаки: Якщо не-А істинне, то А - хибне. Тому операцію заперечування треба відрізняти від заперечення, що є іманентною частиною запе­речного судження, в якому вказується на відсутність ознаки у предмета думки ("Деякі S не суть Р", "Жодне S не суть Р"). Істинність чи хибність заперечних суджень визначається структурою судження, а в заперечуваних судженнях вона пов'язана із ствердністю або заперечуваністю змісту думки загалом. Ствердність і заперечність виступають тут бівалентними характеристиками істинності чи хибності суд­жень.

Зазначимо, що заперечувані судження можна подавати в еквівалентній формі. Еквівалентними є два судження, якщо вони є одночасно істинними, або одночасно хибними. Якщо заперечене (негативне) судження є істинним, то еквівалент­не йому ствердне (позитивне) також буде істинним, і навпа­ки.

 

Завдання. Записати відношення еквівалентності між ат­рибутивними судженнями типу А, Е.

Відповідь:

~А ≡ О ~"х S(х) → P(х) = $х (S(х) Ù ~ P(х));

~Е ≡ І ~"х S(х) → ~ P(х)) =$х (S(х) Ù P(х));

~І ≡ Е ~$х (S(х) Ù P(х)) = "х S(х) →~P(х));

~О ≡ А ~$х (S(х) Ù ~ P(х)) = "х S(х) → P(х)).

Отже, еквівалентними є ті судження, які перебувають у відношенні суперечності (контрадикторності).

 

Завдання.Утворити пари еквівалентних суджень для за­перечених суджень про відношення.

Відповідь:

~"х (x R y) = $х (x ~R y);

~$x (x R y) = "х (x ~R y);

~"y $х (x Ry) = $x "y (x ~Ry) і т. ін.

Пам'ятайте: щоб утворити еквівалентне запереченому судженню про відношення, треба у правій частині рівності квантори поміняти на протилежні і заперечити закванторну (або підкванторну) основу.

 

3.2. ЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ СКЛАДНИХ СУДЖЕНЬ (ВИСЛОВЛЕНЬ)

Ви вже знаєте, що складні судження утворюються з про­стих шляхом з'єднання їх логічними сполучниками /\, \/, , →, ↔,~, і що істиннісне значення складних суджень є функцією значень простих суджень, що входять до їх складу.

Принагідно нагадаємо, що знаходження істиннішого значення складних висловлень складає проблему розв'яз­ковості. Щоб з'ясувати істиннісне значення складного суджен­ня, необхідно знати таблиці істинності, в яких відбито зна­чення логічних сполучників /\ , \/, , →, ↔,~(див. зведену таблицю):

 

А В А /\ В A \/ B A B А →В А ↔ В А ~А
і і і і х і і і х
і х х і і х х х і
х і х і і і х - -
х х х х х і і - -

 

Крім того, практичні заняття передбачають виконання завдань з формалізації різних за жанром фрагментів тексту і визначення логічної валентності складного судження (висловлення). Формалізуючи той чи інший фрагмент тексту, бажано керуватись наступним приписом: крапку в кінці ре­чення передавати кон'юнкцією, а крапку з комою — диз'юнкцією. Імплікацію вживати там, де є підстава і наслідок (або: засновок і висновок).

Серед методів встановлення класу висловлення най­простішими є метод таблиць істинності та метод аналітичних таблиць.

3.2.1. МЕТОД ТАБЛИЦЬ ІСТИННОСТІ АБО МЕТОД СЕМАНТИЧНИХ ТАБЛИЦЬ

Нехай нам треба визначити істиннісне значення склад­ного висловлення (А /\ В)→A.Для цього спершу вияв­ляємо кількість пропозиційних змінних або аргументів. До складу даного висловлення входять дві пропозиційні змінні - Ата В. Кожне з них може мати значення "і" та "х". Число рядків таблиці визначаємо за формулою т = 2n, де т — чис­ло рядків, n — число різних пропозиційних змінних, що входять у формулу, а 2 — число значень ("і", "х"). Отже, число рядків таблиці рівне 2n , де n= 2 (А та В), тобто: 22=4 ряд­ки. Іншими словами, кількість рядків визначається кількістю або класом логічних відношень між двома судженнями А та B. З'ясувавши кількість рядків, будуємо таблицю істинності для усієї формули за її складниками:

 

А В А /\ В (А /\ В) → А
і і і і
і х х і
х і х і
х х х і

Таблиця свідчить, що кількість рядків, залежить від кількості змінних (А, В), що входять у формулу, а набори значень змінних у кожному рядку впорядковані за аналогією двійкової системи числення (число всіх n-значних наборів дорівнює 2n). Якщо формула включатиме три змінні (А, В, С), наприклад: ((A → В) /\ (B → С)) → (А → С), то матиме­мо 23=8 рядків; якщо у формулу входитиме 4 змінні, то ма­тимемо 24=16 рядків та відповідні їм набори значень змінних.

Виникає питання: як бути, коли формула включатиме змінні із заперечуванням? Нехай нам треба з'ясувати істиннісне значення формули (((A → B) /\ ~B) → ~A), яка включає заперечувані змінні ~А та ~В. У такому випадку чи­нимо так: спершу задаємо клас логічно можливих відно­шень (наборів значень) для ствердних висловлень (А, В), а відтак за таблицею заперечення записуємо відповідно зна­чення заперечуваних (~А, ~В). Тільки після цього визна­чаємо значення усіх підформул за таблицями відповідних сполучників за порядком, який визначається дужками.

Зразок відповіді:

 

А В ~А ~В А→В ((А→В) /\ ~В) ((А→В) /\ ~В) → ~А
і і х х і х і х х х х і і х і і і х і і х х х і і і і і

 

Для наочності подаємо схеми впорядкування наборів значень змінних, що входять, наприклад, у формулу

((А → В) /\ (В → С) → (А → С)):

 

І етап II етап III етап

А В С   А В С   А В С  
і і і і і і  
і і і і і х  
і і х і х і  
і і х і х х  
х х і х і і  
х х і х і х  
х х х х х і  
х х х х х х  

 

Таким чином, виявивши усі набори значень змінних, ми можемо приступити до виявлення істиннісного значення підформул і формули в цілому.

Якщо пропозиційні змінні (А, В, С,...) розглядати як ар­гументи, то утворені в результаті операцій /\ , \/, , →, ↔, ~ функції Α /\ Β, Α \/ Β, Α В, А →В, Α ↔ В , ~Аможна позначити буквою Fn з індексами ( n = 1,2,3,4...), які вказуватимуть на порядок логічних операцій - /\ , \/, , →, ↔, ~ . Проілюструємо на прикладі:

F1 F2 F3 F5 F4

((А → В) /\ (В → С) → (А → С)):

 

А В C F1 F2 F3 F4 F5
і і і і і і і' і
і і х і х х х і
і х і х i х і і
і х х х і х х і
х і і і і і і і
х і х і х х і і
х х і і і і і і
х х х і і і і і

Зауважимо, що тільки отримавши істиннісне значення усієї формули за головним сполучником, ми можемо визна­чити клас складного висловлення, а саме, якщо останній стовпчик міститиме значення "і"в усіх рядках, то таке вис­ловлення буде логічним законом; якщо в останньому стовпчику подибуватимуться різні значення ("і"та "х"), то таке висловлення буде нейтральним; якщо ж останній стовпчик включатиме лише значення "х",то таке вислов­лення кваліфікується як логічна суперечність. У нашому ви­падку ми маємо закон логіки.

Таблиця істинності для висловлення ~(А → (А \/ В)) свідчить про те, що воно є суперечність:

 

A В A\/B (А→ (Α\/В)) ~ (А→(А\/В))
і і і і х
і х і і х
х і і і х
х х х і х

 

Таблиця істиності для висловлення (А → (А /\ В)) пере­конує в тому, що дане висловлення є нейтральним, бо містить різні значення ("і" та "х"):

 

А В А /\ В А → (А /\ В)
і і і і
і х х х
х і х і
х х х і

3.2.2. МЕТОД АНАЛІТИЧНИХ ТАБЛИЦЬ

Метод таблиць істинності стає громіздким із збільшен­ням кількості пропозиційних змінних у формулі, що веде до ускладнення процедури з'ясування істиннішого значення висловлення. Метод аналітичних таблиць спрощує завдання перевірки формул на істиннісне значення.

Аналітичну таблицю будують за допомогою аналітич­них правил, для формулювання яких вводяться спеціальні символи: Т — "істина" (від англ. truth) та F — "хиба" (від англ. fales). Ці позначення виконують роль індексів. Форму­ла, перед якою стоїть знак Τ або F, називається індексова­ною. Аналітичні правила включають засновки і висновки. Засновки від висновків відділяються горизонтальною лінією. Символи F1 і F2 (як знаки метамови) використову­ють для формулювання аналітичного правила. З технічних міркувань заперечення позначатимемо через ~.

Перш ніж приступити до розв'язання завдань за допомо­гою аналітичних правил, коротко зупинимось на умовах їх формулювання.

Відомо, що кон'юнкція F1 /\ F2 єістинною тоді і тільки тоді, коли обидва кон'юнкти є істинними. Цю умову запи­суємо у вигляді аналітичного правила "Істинність кон'юнкції"— Т/\ (читається: "Т-кон'юнкція"):

Т/\ TF1 /\ F2
TF1,TF2

Правило F/\("хибність кон'юнкції") подаємо за умовою хибності кон'юнкції:

F/\ FF1 /\ F2
FF1,\ FF2

Вертикальна риска у висновку означає появу розгалуження аналітичної таблиці при застосуванні цього правила, тобто поділ таблиці на дві нові вказує на врахування якоїсь однієї з двох можливостей.

Ми знаємо, що слабка диз'юнкція істинна тоді й тільки тоді, коли обидва диз'юнкти F1 і F2 є істинними. На цій підставі реєструємо відповідне аналітичне правило "істинність слабкої диз'юнкції":

T\/ TF1\/ F2
TF1, ТF2

Оскільки слабка диз'юнкція хибна тоді і тільки тоді, коли обидва диз'юнкти F, і F2 є хибними, то відповідне аналітичне правило "хибність слабкої диз'юнкції" матиме такий вигляд:

F\/ FF1 \/ F2
FF1, FF2

За таблицею істинності сильна диз’юнкція F1 і F2 «істинна» тоді і тільки тоді, коли F1 і F2 мають різні значен­ня. Цю умову подаємо аналітичним правилом "істинність сильної диз'юнкції":

Т TF1 F2
TF1,FF2 êFF1,TF2

 

Сильна диз'юнкція хибна тоді і тільки тоді, коли F1 і F2 мають однакові значення. Тому правило "хибність сильної диз'юнкції" можна записати так:

F TF1 F2
TF1, ТF 2 | FF1,FF2

 

За таблицею імплікація F1→F2 буде істинною тоді і тільки годі, коли F1 є хибним, або коли F2 є істинним. Тому аналітичне правило "істинність імплікації" виглядає так:

F TF1→F2
FF1|TF2

 

Імплікація F1 → F2 є хибною тоді і тільки тоді, коли (ан­тецедент) F1 є істинним, F2 (консеквент) є хибним. Ця умо­ва передається правилом "хибність імплікації":

F→ FF1↔ F2
TF1, TF2

Еквіваленція F1 ↔ F2 істинна тоді і тільки тоді, коли F1 набувають однакових значень істинності. Адекватним аналітичним правилом "істинність еквіваленції" буде:

T↔ TF1 ↔ F2
TF1,TF2 | FF1,FF2

 

Еквіваленція F1 ↔ F2 хибна тоді і тільки тоді, коли F1 і F2 набувають різних значень. Тому аналітичне правило "хибність еквіваленції" набере такого вигляду:

F↔ FF1 ↔ F2
TF1,FF2 | FF1,TF2

 

За таблицею заперечення формулюють ще два правила. Якщо ~F - істинне, то F - хибне. Відповідне аналітичне правило "істинність заперечення" матиме вигляд:

T~ T~F
F F

"Хибність заперечення" відображається у правилі:

F~ F~F
T F

 

Аналітичні правила Т/\ , F\/ , F→ , T~ , F~прийнято нази­вати правилами без розгалужень, а правила F/\ , T\/ , T , F , T→ , T↔ , F↔ називають правилами з розгалуження­ми.

Послідовне застосування правил побудови аналітичних таблиць призводить до того, що індекси Τ та F стоятимуть перед окремими пропозиційними змінними. Це означатиме, що аналітична таблиця для F буде побудована. Так, на­приклад, щоб встановити, чи є дане висловлення логічним законом, необхідно вивести суперечність у процесі побудови аналітичної таблиці для запереченого вихідного висловлен­ня F. Тобто необхідно побудувати таблицю FF, де F — фор­мула, яку ми перевіряємо на статус логічного закону.

Кінцева або підсумкова таблиця може бути або замкне­ною, або відкритою. Якщо дана таблиця є замкненою, тобто якщо одна і та сама пропозиційна змінна має індекси Τ і F, аналізоване складне висловлення (F) є логічним законом або тавтологією.

Як це робиться, ілюструємо на прикладі.

Нехай маємо формулу (~А → ~B) → (B → А). Припусти­мо, що вона хибна: F (~А→~В)→(B→А). Якщо дана формула хиб­на, то її антецедент (~А → ~В) має бути істинним, тобто Т ~А → ~В, а консеквент (В → А) має бути хибним, тоб­то F В→А . Якщо ж FВ→А , то В буде істинним (ТВ), А — хибним (FA). За таких значень А та В формула (~А → ~В) виявиться хибною, бо якщо хибне A (FA), то істинне ~А (Τ~А). Якщо істинне В (ТВ), то хибне ~В (F~В), і тоді хибною є ~А → ~В (F~ А → ~В). Але з хибності вихідної формули (F) випливало, що формула ~А→~В – істинна. Таким чином, з припущення про хибність (F) певної формули ми вивели суперечність. А це означає, що не існує такого набору значень змінних, за яко­го вся формула набрала б значення "хибність". Отже, дана формула є законом логіки.

Зауважимо, що таблиці називаються аналітичними тому, що "розкладаючи" складну формулу на її складники, ми нама­гаємося віднайти такий набір значень складоників, за яких вихідна формула виявилася б хибною.

Покажемо тепер на прикладі, як застосовується метод аналітичних таблиць. Нагадаємо ще раз про те, що аналітич­на таблиця є замкненою, якщо і тільки якщо пропозиційна змінна (А, В, С,...) подибується з індексами Т і F.

 

Наприклад, завдання:Чи є складне висловлення А → (В → А) логічним законом.

Відповідь: {ТА, ТВ, FA}*.

Щоб отримати дану відповідь, будуємо аналітичну таблицю:

FA → (B →A)

TA, FB →A (правило F→ )

TB, FA (правило F→ )

 

Отже. (ТА, ТВ, FA}*.

 

Як бачимо, ця таблиця є замкненою, позаяк пропозиційна змінна А має індекси Τ і F. Отже, формула (А → (В → А)) є логічним законом.

Побудова аналітичних таблиць для деяких складних вис­ловлень вимагає врахування можливості отримання не однієї, а декілька підсумкових таблиць. Як правило, це трап­ляється у випадку, коли використовуються правила з розга­луженнями (ці правила у висновку мають вертикальну рис­ку).

 

Завдання.Довести аналітичним методом наступне складне висловлення

(А → В) → ((А → ~В) → ~А).

Відповідь:

F (A →B) →((A →~B) →~A)

TA →B F(A →~B) →~A (F→ )

FA | TB TA →~B F ~A (T→ ,F→)

FA | T ~B TA (T→ ,F→)

FB (T→)

У результаті аналізу ми отримали наступні кінцеві таб­лиці:

{FA, FA, ТА}*

{FA,FB,TA}*

{ТВ, FA, ТА}*

{ТВ, FB, ТА}*

Ці таблиці замкнені. Отже, вихідне висловлення є логічним законом.

 

Або візьмемо таке завдання:Встановити методом аналітичних таблиць логічний статус висловлення, вираже­ного формулою

(~А /\ ~В) →~(А \/ В) .

Відповідь:

F (~А /\ ~В) →~(А \/ В)

T ~А /\ ~В F ~(А \/ В) (F→)

T ~А T~BT А \/ В (T/\ , F→)

FA FB TA | TB (T/\ , T→)

1) {FA, FB, ТА}*

2) {FA'FB,TB}*

Отже, вихідна формула є логічним законом. Якщо отримаємо замкнені таблиці, то формула F буде логічною суперечністю.

Для того, щоб встановити, чи є формула логічною супе­речністю, треба побудувати аналітичну таблицю T F.

 

З цією метою виконаємо наступне завдання:Встанови­ти методом аналітичних таблиць, чи є висловлення, вираже­не формулою ~((А/\В) → А), логічною суперечністю?

Відповідьподаємо таким чином:

T ~(( А /\ В) → А)

F ( А /\ В) → А (T~)

T (А /\ В) ê FA (T→)

TA | TB (T\/)

 

{ТА, ТВ, FA}* Отже, вихідна формула є логічною супе­речністю.

Якщо кількість пропозиційних змінних не досить вели­ка, то доведену аналітичним методом формулу, можна пе­ревірити, для певності, методом таблиць істинності.

 

Доверь свою работу ✍️ кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
⇐ Предыдущая14151617181920212223242526272829Следующая ⇒



Поиск по сайту:






©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.