Пряме доведення в СНВ логіки висловлень

Завдання.Обґрунтуйте вивідність тези із аргументів у СНВ:

(a₁) p ® q; (a₂) r ® s; (a₃) p \/ r; (T) q \/ s.

Відповідь.Щоб обґрунтувати вивідність q \/ s із даних аргументів p ® q, r®s та p \/ r, аргументи з’єднуємо кон’юнкцією („/\”), а тезу приєднуємо імплікацією („®”):

((p ® q) /\ (r ® s) /\ ( p \/ r)) ® (q \/ s).

Далі чинимо згідно з алгоритмом числення прямого доведення: антецедент усієї формули вводимо у вигляді припущення:

1. (p ® q) /\ (r ® s) /\ (p \/ r) – припущення.

Другий крок в алгоритмі доведення вимагає вивести з даного припущення наслідки за відповідним правилом числення. Оскільки припущення є кон’юнкцією аргументів, то за правилом УК („усунення кон’юнкції”), усуваємо кон’юнкти, а праворуч записуємо скорочено правило і в дужках – рядок формули, яка є кон’юнкцією аргументів (1):

2. p ® q УК (1)

3. r ® s УК (1)

4. p \/ r УК (1).

Оцінюючи зв’язки між утвореними підформулами, тобто „наслідками” із формули-припущення і, застосовуючи правило логічного слідування Дил₃ (дилема третя або складна конструктивна дилема), виводимо тезу (q \/ s):

5. q \/ s Дил₃ (2,3,4).

Таким чином, теза (q \/ s) випливає за правилом слідування (Дил₃) із аргументів (p ® q), (r ® s) та (p \/ r). Отже, доведення тези є коректним.

Відповідьбез „коментарів” подається так:

0. ((p ® q) /\ (r ® s) /\ ( p \/ r)) ® (q \/ s)

1. (p ® q)/\(r ® s) /\ ( p \/ r) – пр.

2. p ® q – УК (1)

3. r ® s – УК (1)

4. p \/ r – УК (1)

5. q \/ s Дил₃ (2,3,4)

Отже, теза (q \/ s) випливає з аргументів p ® q, r ® s та p \/ r.

Завдання.Чи виводиться теза (~p /\ ~r) із аргументів:

(a₁) p ® q; (a₂) r ® s; (a₃) ~q \/ ~s?

Відповідь.((p ® q) /\ (r ® s) /\ ( ~q \/ ~s)) ® ( ~p \/ ~r)

1. (p ® q) /\ (r ® s) /\ ( ~q \/ ~s) – припущення

1. p ® q – УК (1)
2. r ® s – УК (1)
3. ~q \/ ~s – УК (1)
4. p – припущення
5. q – МР (2,5)
6. r – припущення
7. s – МР (3,7)
8. ~s – МРТ (4,6)
9. ~q – МРТ (4,8)
10. ~p – МТ (2,10)
11. ~r – МТ (3,9)
12. ~p \/ ~r – ВД (11,12)

Отже, доводжувана теза виводиться із даних аргументів, оскільки її формула співпадає із формулою, яка отримана в результаті числення.

Зверніть увагу на те, що для побудови прямого чи непрямого доведення тези має неабияке значення розуміння кратності імплікації. Нагадаємо, що кратна імплікація – це формула вигляду:

А₁ ® (А₂ ® (А₃ ®... (А_n ® С)...). Читається: якщо А₁, А₂ , А₃, ... А_n , то С, де А₁, А₂ ,А₃, ... А_n – антецеденти, а С – консеквент.

При n = 1 маємо схему однократної імплікації:

А₁ ® С;

при n = 2 маємо схему двократної імплікації:

А₁ ® (А₂ ® С);

при n = 3 маємо схему трикратної імплікації:

А₁ ® (А₂ ® (А₃ ® С));

при n = 4 маємо схему чотирикратної імплікації:

А₁®(А₂ ®(А₃®( А₄®С)));

при n = 0 маємо схему нулькратної імплікації:

С (схема співпадає з консеквентом).

Нулькратна імплікація містить консеквент (С) і не містить антецедентів.

Крім цього, треба мати на увазі, що пряме доведення вважається побудованим, якщо ми отримали послідовність формул, яка закінчується формулою С, тобто консеквентом. У контексті теорії аргументації консеквентом є теза, тоді як антецеденти виконують роль аргументів.

Таким чином, пряме доведення кратної імплікації постає як спосіб виведення тези з аргументів через з’ясування відношення логічного слідування за допомогою припущень та правил слідування. Незважаючи не тривіальність, як комусь може видатися, числення в СНВ логіки висловлень, як метод обґрунтування тези прямим чи непрямим способом, має певні переваги над іншими методами з’ясування зв’язку між внутрішніми структурними елементами доведення та їх субструктурами, оскільки позбавляє нас від побудови громіздких розв’язкових процедур табличним методом і т. ін. Введення у канву числення припущень, раніше доведених формул і т. ін. розширює творчий потенціал цього методу доведення чи спростування.

Візьмемо для прикладу доведення формули q®q. Воно виглядатиме так:

1. q ® q – (вихідна формула);

2. q – припущення;

3. q – МР (1,2).

Безперечно, що таке доведення є тривіальним. Проте його результат можна використати в нетривіальному прямому доведенні.

Нехай ми маємо формулу: (p \/ q) ^(a1) ® ((p ® q) ^(a2) ® q^Т).

Вивідною формулою тут є формула „q” за двократною імплікацією: А₁ ® (А₂ ® С), де А₁ – це (p \/ q), А₂ – (p ® q), а С – формула q.

Доведення матиме вигляд:

(p \/ q) ® ((p ® q) ® q)

1. p \/ q – припущення;

2. p→q – припущення;

3. q→q – раніше доведена формула (р.д.ф.), яку також вводимо у вигляді „припущення”, якого не вистачає, щоб вивести q.

4. q Дил.₁ (1,2,3) або УД (усунення диз’юнкції) від (1,2,3).

Гадаю, що сказаного достатньо, щоб переконатися у ціннісних потенціях методу числення в СНВ.

Поиск по сайту: