Теоретическая часть

Градиентный метод относится к классу итерационных методов. На каждом итерационном шаге спуск (движение в координатах оптимизируемых параметров, которому соответствует убывание целевой функции) осуществляется в направлении, противоположном градиенту целевой функции (в направлении антиградиента). Относительно точки, из которой осуществляется итерационный шаг, направление антиградиента перпендикулярно линии равного уровня целевой функции и соответствует направлению наискорейшего убывания целевой функции.

Целевая функция – минимум расхода топлива

B(P) = B₁(P₁) + B₂(P₂) + B₃(P₃).

Уравнение ограничений – уравнение баланса мощностей

P₁ + P₂ + P₃ – P_НS = 0.

Для уменьшения числа оптимизируемых параметров целевую функцию B(P) можно выразить только через независимые переменные P₁, P₂. Примем третий узел в качестве балансирующего узла, выразим мощность балансирующего узла из уравнения баланса мощностей и подставим в целевую функцию

B(P) = B₁(P₁) + B₂(P₂) + B₃(P_НS – P₁ – P₂). (2.1)

Общее итерационное выражение

(2.2)

Используя исходные данные, зададимся точностью расчета

%, (2.3)

где B^i–1 и Bⁱ – значения целевой функции, достигнутые после i–1 и i итераций соответственно.

В качестве направления движения используется направление наибольшего убывания целевой функции. Выражение для направления антиградиента

(2.4)

После выбора направления спуска требуется определить оптимальную длину шага в данном направлении. С этой целью по методу наискорейшего спуска зависимость целевой функции от длины шага в направлении антиградиента аппроксимируется полиномом второй степени

(2.5)

и находится экстремум функции аппроксимации из условия

(2.6)

или же оптимальная длина шага

. (2.7)

Для определения трех коэффициентов полинома B_АП(q) необходимо сделать 2 шага единичной длины в направлении антиградиента из исходной точки данной итерации, что позволяет составить систему из трех уравнений для трех точек функции аппроксимации.

Решив систему, определим значения коэффициентов a, b, и c.

Отсюда оптимальная длина шага

. (2.8)

Целевая функция – минимум расхода топлива

B(P) = B₁(P₁) + B₂(P₂) + B₃(P₃).

Уравнения связи – расходные характеристики станций

Уравнения ограничений – уравнение баланса мощностей

P₁ + P₂ + P₃ – 827,1 = 0.

Выразим мощность балансирующего узла P₃ из уравнения баланса мощностей и подставим в целевую функцию

(2.9)

В качестве направления движения используется направление наибольшего убывания целевой функции. Найдем выражение для направления антиградиента

(2.10)

I итерация

Начальное приближение .

Найдем значение антиградиента в данной точке

Делаем три пробных шага в направлении антиградиента

Находим значение оптимального шага

Находим следующее приближение мощности

Находим значение функции в этой точке

Проверяем условие сходимости

условие не выполняется.

Повторяем итерации до тех пор, пока условие сходимости не будет выполняться (в тетрадях привести все итерации).

Находим значение мощностей станций

P₁ = 325,2 МВт,

P₂ = 277,1 МВт,

P₃ = 827,1 – 325,2 – 277,1 = 224,8 МВт.

Контрольные вопросы

1. Понятие целевой функции, градиента и антиградиента целевой функции.

2. Целевые функции и оптимизируемые параметры при решении задач оптимизации в электроэнергетике.

3. Какие существуют методы задания направления спуска? Какой метод обеспечивает наискорейшее убывание целевой функции?

4. Каковы преимущества и недостатки градиентного метода оптимизации энергосистемы?

5. Как выбирается направление спуска при решении задач оптимизации градиентным методом?

Практическое занятие № 3.
Метод покоординатной оптимизации

Задание

Определить распределение активной мощности между электростанциями методом покоординатной оптимизации в сочетании с методом наискорейшего спуска без учета потерь.