Градиентный метод относится к классу итерационных методов. На каждом итерационном шаге спуск (движение в координатах оптимизируемых параметров, которому соответствует убывание целевой функции) осуществляется в направлении, противоположном градиенту целевой функции (в направлении антиградиента). Относительно точки, из которой осуществляется итерационный шаг, направление антиградиента перпендикулярно линии равного уровня целевой функции и соответствует направлению наискорейшего убывания целевой функции.
Для уменьшения числа оптимизируемых параметров целевую функцию B(P) можно выразить только через независимые переменные P1, P2. Примем третий узел в качестве балансирующего узла, выразим мощность балансирующего узла из уравнения баланса мощностей и подставим в целевую функцию
B(P) = B1(P1) + B2(P2) + B3(PНS – P1 – P2). (2.1)
Общее итерационное выражение
(2.2)
Используя исходные данные, зададимся точностью расчета
%, (2.3)
где Bi–1 и Bi – значения целевой функции, достигнутые после i–1 и i итераций соответственно.
В качестве направления движения используется направление наибольшего убывания целевой функции. Выражение для направления антиградиента
(2.4)
После выбора направления спуска требуется определить оптимальную длину шага в данном направлении. С этой целью по методу наискорейшего спуска зависимость целевой функции от длины шага в направлении антиградиента аппроксимируется полиномом второй степени
(2.5)
и находится экстремум функции аппроксимации из условия
(2.6)
или же оптимальная длина шага
. (2.7)
Для определения трех коэффициентов полинома BАП(q) необходимо сделать 2 шага единичной длины в направлении антиградиента из исходной точки данной итерации, что позволяет составить систему из трех уравнений для трех точек функции аппроксимации.
Решив систему, определим значения коэффициентов a, b, и c.
Отсюда оптимальная длина шага
. (2.8)
Целевая функция – минимум расхода топлива
B(P) = B1(P1) + B2(P2) + B3(P3).
Уравнения связи – расходные характеристики станций
Выразим мощность балансирующего узла P3 из уравнения баланса мощностей и подставим в целевую функцию
(2.9)
В качестве направления движения используется направление наибольшего убывания целевой функции. Найдем выражение для направления антиградиента
(2.10)
I итерация
Начальное приближение .
Найдем значение антиградиента в данной точке
Делаем три пробных шага в направлении антиградиента
Находим значение оптимального шага
Находим следующее приближение мощности
Находим значение функции в этой точке
Проверяем условие сходимости
условие не выполняется.
Повторяем итерации до тех пор, пока условие сходимости не будет выполняться (в тетрадях привести все итерации).
Находим значение мощностей станций
P1 = 325,2 МВт,
P2 = 277,1 МВт,
P3 = 827,1 – 325,2 – 277,1 = 224,8 МВт.
Контрольные вопросы
1. Понятие целевой функции, градиента и антиградиента целевой функции.
2. Целевые функции и оптимизируемые параметры при решении задач оптимизации в электроэнергетике.
3. Какие существуют методы задания направления спуска? Какой метод обеспечивает наискорейшее убывание целевой функции?
4. Каковы преимущества и недостатки градиентного метода оптимизации энергосистемы?
5. Как выбирается направление спуска при решении задач оптимизации градиентным методом?
Практическое занятие № 3. Метод покоординатной оптимизации
Задание
Определить распределение активной мощности между электростанциями методом покоординатной оптимизации в сочетании с методом наискорейшего спуска без учета потерь.