Обчислити кількість та виписати 6 варіантів розв’язань задач.

Задача 1.

Задано множину .

A) Скільки існує на заданій множині сполук по 4 елементи?

Б) Cкільки розміщень по 5 елементів існує на заданій множині?

В) Скільки існує на заданій множині сполук з повтореннями по 4 елементи?

Г) Cкільки розміщень з повтореннями по 5 елементів існує на заданій множині?

Розв'язування.

A) у заданій множині 10 елементів. Отже, необхідно знайти кількість сполук із 10 по 4. Згідно формули (3) кількість усіх можливих чотириелементних підмножин заданої множини буде такою

.

Тепер випишемо довільних 6 варіантів результату, тобто зазначимо підмножини заданої множини, які містять чотири елементи, що не повторюються: ; ; ; ; ; .

Б)потужність заданої множини n=10. Необхідно знайти кількість впорядкованих наборів різних елементів з 10 по 5. За формулою (7) число впорядкованих наборів дорівнюватиме

.

Випишемо довільні 5 варіантів розв'язань цієї задачі. Кожен із варіантів буде містити п'ять елементів заданої множини, що не повторюються, причому розташування елемента в наборі є суттєвим, бо це розміщення: ; ; ; ; ; .

В)маємо десять елементів у множині. За умовою необхідно знайти кількість сполук із повтореннями з 10 елементів по 4 елементи. За формулою (4) відповідно знайдемо

.

Випишемо довільні 4 варіанти розв'язання цієї задачі, тобто набори будь‑яких чотирьох елементів множини А з повторенням елементів у наборі: ; ; ; ; ; .

Г) задана множина містить 10 елементів. Необхідно знайти кількість розміщень з повтореннями із 10 елементів по 5. Використаємо формулу (8)

,

оскільки на кожну позицію можна поставити будь‑який із 10 елементів заданої множини.

Випишемо 5 довільних варіантів розміщень із повтореннями з множини А у 5 комірок. Кожен із варіантів буде містити п'ять елементів заданої множини, місце елемента в наборі є суттєвим і елементи можуть повторюватися: ; ; ; ; ; .

Відповідь:

A)число невпорядкованих сукупностей елементів становить 210, а варіанти їх вибору є, наприклад, такими: ; ; ; ; ; .

Б)число впорядкованих сукупностей елементів становить 30240, а варіанти їх вибору можуть бути такими: ; ; ; ; ; .

В)число невпорядкованих сукупностей елементів із можливістю повторення елементів у наборах дорівнює 715, а варіанти їх вибору є, наприклад: ; ; ; ; ; .

Г)число впорядкованих сукупностей елементів з можливістю повторення елементів у наборах дорівнює 10⁵, а варіанти їх можливого вибору є такими: ; ; ; ; ; .

Задача 2.

Задано множину . Скільки існує перестановок на цій множині?

Розв'язування. Задана множина містить 6 елементів. Необхідно знайти кількість перестановок у цій множині зі шести елементів. Згідно з формулою (5) маємо

Відповідь: число впорядкованих 6-ти елементних сукупностей, в яких елементи займають різні позиції та не повторюються, дорівнює 720, а деякі з варіантів їх переставлянь є такими: ; ; ; ; ; .

Задача 3.

Задано деякий набір елементів, що повторюються в цьому наборі {а, а, а, б, б, в, в, в, г, г, д, д, д, д}. Скільки існує перестановок елементів на заданому наборі?

Розв'язування. У заданому наборі є 14 елементів п'ятьох різних типів, зокрема, 3 елементи типу {а} та типу {в}, 2 елементи типу {б} та {г} і чотири елементи типу {д}. Для знаходження розв'язку задачі використаємо перестановки з повтореннями. Згідно з формулою (6) лічба всіх перестановок 14-ти елементного набору з 5-ти різними типами елементів буде такою

.

Випишемо довільні 6 варіантів розв'язання заданої задачі. Кожен із варіантів буде містити одну із можливих перестановок заданого набору, враховуючи повторення елементів у наборі:

{а, а, а, б, б, в, в, в, г, г, д, д, д, д}; {б, б, а, а, а, в, в, в, г, г, д, д, д, д};

{а, а, а, в, в, в, б, б, г, г, д, д, д, д}; {а, б, б, а, а, в, в, в, г, г, д, д, д, д};

{а, а, б, б, а, в, в, в, г, г, д, д, д, д}; {а, а, а, в, в, в, г, г, д, д, д, д, б, б}.

Відповідь: число впорядкованих сукупностей 14 елементів з 5-ти типів елементів, в яких всі елементи переставляються, дорівнює 25225200, серед них є 6 таких варіантів (анаграм):

{а, а, а, б, б, в, в, в, г, г, д, д, д, д}; {б, б, а, а, а, в, в, в, г, г, д, д, д, д};

{а, а, а, в, в, в, б, б, г, г, д, д, д, д}; {а, б, б, а, а, в, в, в, г, г, д, д, д, д};

{а, а, б, б, а, в, в, в, г, г, д, д, д, д}; {а, а, а, в, в, в, г, г, д, д, д, д, б, б}.

2. Розв'язати задачі та пояснити хід їх розв’язання.

Задача 1.

Скільки різних послідовностей можна утворити з 6-ти одиниць та 10-ти нулів?

Розв'язування. Вхідними даними задачі є послідовність із 6-ти одиниць та 10-ти нулів. Тобто ми маємо 16 елементів, з яких 6 елементів 1-го типу {1} та 10 елементів 2-го типу {0}. З них будуються послідовності, причому кожна послідовність містить усі 16 елементів. Отже, розв'язок задачі будемо шукати через перестановки з повтореннями. Згідно з формулою (6) обчислюємо:

.

Відповідь: число 16-ти елементних наборів, що містять 6 одиниць і 10 нулів становить 8008.

Задача 2.

Десять співробітників необхідно розподілити на 6 робочих місць. Скількома способами можна здійснити таке призначення, якщо кожен співробітник може працювати на будь-якому робочому місці.

Розв'язування. Умова задачі, що кожен співробітник може працювати на будь-якому робочому місці, визначає комбінаторний об’єкт, за яким буде розв'язуватися дана задача. Адже, за цієї умови неважливо, на яке саме робоче місце буде призначено співробітника. Важливим буде те, що він був вибраний із 10 існуючих для заміщення вакантної посади. Тобто задача буде розв'язуватися за формулою сполук без повторень, оскільки той самий співробітник не може одночасно бути призначений на кілька вакантних місць. Отже, згідно з формулою (3) число таких варіантів рівне

.

Відповідь: число варіантів працевлаштування десяти осіб на 6 робочих місць дорівнює 210.

Задача 3.

Скільки різних шестисимвольних кодів можна утворити на множині літер української абетки?

1) літери в коді повинні бути різними;

2) літери в коді можуть повторюватися.

Поиск по сайту: