Розв'язування.

А) потужність множини літер української абетки дорівнює 33. Варіантом розв'язання задачі є деякі шість літер із 33 існуючих, причому важливим є місце літери в коді. Тобто перестановка місцями елементів у вже здійсненій вибірці призводить до нового варіанту розв'язання задачі. Оскільки варіант А) передбачає, що всі літери в коді повинні бути різними, то комбінаторний об’єкт, за яким буде розв'язуватися ця задача, є розміщення без повторень із 33 по 6. А за формулою (7) будемо мати шукане число кодів:

.

Б) аналогічно, як і в варіанті А), цей варіант розв'язування задачі буде утворюватися при вибірці 6 літер із 33 існуючих в українській абетці, причому перестановка місцями елементів у вже здійсненому наборі призводить до нового варіанту розв'язання задачі. Оскільки варіант Б) передбачає, що літери в коді можуть повторюватися, то комбінаторний об’єкт, за яким буде розв'язано дану задачу є розміщенням із повтореннями з 33 по 6. Тоді за формулою (8) кількість шуканих варіантів буде такою:

.

Відповідь: число варіантів кодів з літер української абетки, що містить 6 символів, у випадку А) всі символи рівні, дає 797448960 варіантів, а в випадку Б) де символи можуть повторюватися, дасть 1291467969 варіантів.

Задача 4.

Скількома різними способами можна поставити в два ряди семеро осіб для виконання їх групового портрету?

Розв'язування. Оскільки за умовою задачі не вказано, як саме необхідно розділити семеро осіб на два ряди, то ми розглянемо всі можливі варіанти:

- одна особа в першому ряду, а шістьу другому;

- двоє людей у першому, а п'ятеро в другому;

- троє людей у першому, та четверо в другому;

- інші варіанти є дзеркальним відображенням уже названих.

Нехай ми розставляємо людей для виконання групового портрету першим варіантом (один чоловік у першому ряду і шість у другому). Тоді для заповнення першого ряду є сім варіантів, бо це може бути будь-хто зі семи осіб, що налаштувалися знимкуватися. Для заповнення другого ряду залишилося шестеро осіб, переставляючи їх місцями, ми отримуємо новий варіант їх розміщення у другому ряду. Таким чином, для заповнення другого ряду ми матимемо 6! варіантів. І загальна кількість варіантів для групового портрету зі сімох осіб буде дорівнювати .

Тепер нехай ми розставляємо людей для виконання групового портрету за другим варіантом: дві особи в першому ряду і п'ять у другому. Тоді для заповнення першого ряду ми вибираємо із групи семи осіб двох і враховуємо, що їх місце є важливим і не допускається повторення (адже одна й та ж людина не може займати кілька місць у ряду), тобто загальна кількість варіантів для заповнення першого ряду буде розміщення зі семи по два без повторень. Для заповнення другого ряду залишилося п'ятеро осіб. Переставляння їх місцями дасть новий варіант розміщення цих осіб у другому ряду. Таким чином, для заповнення другого ряду ми матимемо 5! варіантів. І загальна кількість варіантів для групового портрету зі сімох осіб буде дорівнювати .

Далі ми розставляємо людей для виконання групового портрету за третім варіантом (три особи у першому ряду, а четверо в другому). Тоді для заповнення першого ряду ми вибираємо зі семи осіб трьох, і загальна кількість варіантів для заповнення першого ряду буде визначатися через розміщення без повторень із семи по три. Для заповнення другого ряду залишилося четверо осіб. Переставляння їх місцями дає новий варіант розміщення осіб у другому ряду. Таким чином, для заповнення другого ряду ми матимемо 4! варіантів. І загальна кількість варіантів для групового портрету зі сімох осіб буде дорівнювати .

Далі наступні варіанти будуть дзеркальним відображенням цих трьох описаних вище. Тому загальний розв'язок необхідно збільшити у двічі. В результаті будемо мати

.

Відповідь: число варіантів різних світлин, на яких у два ряди будуть вишикувані 7 осіб, становить 30240.

Задача 5.

У дитячий садок було прийнято 5 нових дітей. Вакантні місця є в 7 групах. Скільки існує можливих розподілів цих дітей у групи, якщо:

А) у кожну групу можна розподілити лише одну дитину;

Б) в кожній групі є п'ять і більше вакантних місць;

Розв'язування. Оскільки вакантних місць більше, ніж дітей, що прийшли в садок, тому варіант розв'язування буде формуватися як послідовність деяких п'яти вакантних місць із усіх наявних. Будемо вважати, що дитині важливо, яку саме групу вона відвідуватиме, тобто суттєвим є місце елемента у вибраній послідовності. Таким чином, комбінаторним об'єктом, який буде описувати розв'язання нашої задачі, є розміщення.

А) умова, коли в кожну групу можна розподілити лише одну дитину – означає, що у вибраній послідовності деяких п’яти вакантних місць усі місця повинні бути різними. Тому, кількість можливих розподілів п'яти нових дітей у 7 груп буде описуватися як розміщення з 7 по 5 без повторень:

.

Б) умова, коли в кожній групі є п’ять і більше вакантних місць, означає, що можливий варіант, коли дві чи більше дитини потраплять в одну і ту ж групу. А це значить у вибраній послідовності деяких п’яти вакантних місць можливий варіант, коли місця повторюються. Тому, кількість можливих розподілів п’яти нових дітей по 7 групах буде описуватися як розміщення з 7 по 5 з повтореннями:

.

Відповідь: число варіантів запису дітей у дитячий садок у випадку А) дорівнює 2520, а для варіанту Б) – 16807.

Задача 6.

У стандартному комплекті гри в доміно — 28 кісточок. Скільки кісточок буде мати повний комплект дитячого доміно, якщо замість цифр використати 9 різних малюнків?

Розв'язування. У стандартному комплекті гри в доміно використовують позначення пусто, один, два, три, чотири, п'ять та шість. Тобто є 7 різних позначень полів кісточок. Причому кожна кісточка має дві половинки (два поля) і неважливо, в якому порядку розміщенні позначення (два-чотири та чотири-два буде однією й тієюй ж кісточкою для гри в доміно). Також є “ дублі” – кісточки, в яких обидва поля заповнені однаковими позначеннями (пусто-пусто, два-два). Отже, робимо висновок, що загальна кількість кісточок у стандартному комплекті гри в доміно дорівнює кількості сполук з повтореннями з 7 по 2. Здійснимо перевірку результату за формулою (4)

.

Таким чином, коли ми замість 7 цифр у комплекті дитячого доміно буде використовуватися 9 різних малюнків, загальна кількість кісточок у такому наборі буде дорівнювати

.

Відповідь: кількість кісточок у дитячому доміно з 9-а малюнками дорівнює 45.

Задача 7.

Скількома способами можна розселити 12 студентів у чотири тримісні кімнати гуртожитку.

Розв'язування. Розселення будемо здійснювати наступним чином: спочатку із 12 студентів виберемо 3-ох для поселення в першу кімнату, далі із 9 студентів, які залишилися, виберемо наступну трійку для поселення в сусідню кімнату. Далі із 6 студентів, які залишилися, виберемо ще трьох для поселення в третю кімнату, а в останню кімнату поселимо тих трьох студентів, які залишаться після здійснених вибірок. Вважаємо, що для студента не є важливим місце в кімнаті. Звичайно, що один і той же студент не може бути поселений на два різні місця в кімнаті. Тому комбінаторний об’єкт, який буде описувати розв'язання цієї задачі, є сполукою без повторень. А загальний розв'язок буде визначатися за правилом добутку (2) наступним чином

.

Можна подивитися на розв'язання цієї задачі в контексті чотирьох типів елементів, які треба переставляти місцями. Тоді лічба варіантів поселення 12‑и студентів у 4 кімнати по 3 в кожній обчислиться за числом перестановок із повтореннями, і згідно з формулою (6) матимемо:

Відповідь:число варіантів розселення 12 студентів у 4 тримісні кімнати становить 369600.

Задача 8.

Скількома способами можна розділити групу з 24 студентів на

1) дві рівних підгрупи для здачі модульного контролю?

2) 6 рівних підгруп для виконання лабораторної роботи, причому в межах однієї підгрупи студент згідно нумерації в списку буде виконувати різні функції (оформлення звіту, захист роботи тощо)?

Поиск по сайту: