Розв'язування.

А) при поділі групи студентів із 24 осіб на дві рівні підгрупи – по 12 студентів не є важливим місце студента в списку підгрупи, важливим є лише, в яку саме (першу чи другу) підгрупу він потрапив. Звичайно, один і той же студент не може декілька разів бути записаним у підгрупу. Тому комбінаторний об’єкт, який буде описувати розв'язання цієї задачі, є сполукою без повторень із 24 по 12. Таким чином, ми сформуємо першу підгрупу, а решта студентів (12 осіб, що залишилися) автоматично потраплять у другу підгрупу. Результат розв'язання буде таким:

.

Б) при поділі групи студентів із 24 осіб на 6 рівних підгруп – у кожній підгрупі буде 4 студенти. За умовою в межах однієї підгрупи кожен студент згідно нумерації в списку буде виконувати різні функції, отже важливим є місце студента в списку підгрупи. Звичайно в сформованих списках підгруп прізвище студента не може повторюватися. Тому комбінаторний об’єкт, який буде описувати розв'язування цієї задачі, є розміщенням без повторень. Подібно до викладок розв'язання попередньої задачі №7 загальний розв'язок буде визначатися за правилом добутку так :

Розв'язування. При формуванні білету модульного контролю ми вибираємо довільних 5 завдань зі загального списку. При формуванні іншого білету ми можемо взяти ті самі перші 4 завдання, а останнє взяти вже інше зі загального переліку, що залишився. Звичайно, в модульному білеті не може повторюватися одне і те ж завдання декілька разів. І будемо також вважати, що при зміні місця завдання в білеті, це вже буде сформовано інший білет. Тому комбінаторний об’єкт, який буде описувати розв’язання цієї задачі, є розміщення без повторень із 10 по 5. У результаті застосування формули (7) будемо мати

.

Якщо ж ми вважаємо, що, міняючи місцями завдання в білеті, ми не можемо сформувати інший білет, тобто в іншому білеті хоча б одне завдання повинно бути іншим, то комбінаторний об’єкт, який буде описувати роз­в’язання цієї задачі, є сполукою без повторень із 10 по 5. У результаті

.

Відповідь: кількість різних білетів, що можна утворити на множині 10 різних питань по 5 різних у кожному, за умови важливості розташування завдання у білетів буде становити 30240, а за умови не суттєвості порядку завдань у білеті таких різних може бути сформовано 252.

Завдання для самостійної позаавдиторної роботи студентів

Завдання 1. Розв'язати задачі та пояснити хід розв'язання:

1.1. Скількома способами можна сформувати потяг із 8 вагонів?

1.2. Скількома способами можна вибрати 4 книги із 10?

1.3. На чергування необхідно призначити 2 особи з групи 12 працівників, з яких один буде керівником. Скількома способами можна це зробити?

1.4. Скільки різних п'ятицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 1, 2, 3, 4 і 5 ?

1.5. Скільки різних п'ятицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 1, 2, 3, 4 і 5 за умови, що жодна цифра в числі не повинна повторюватися?

1.6. З 3-х яблук і 7-и бананів треба приготувати десерт із 5-х фруктів, в якому було хоча б 1 яблуко. Скількома способами можна це зробити?

1.7. Із групи 20-и студентів обирають голову та секретаря зборів, а також делегацію з 3-х осіб. Скількома способами це можна здійснити, якщо голова та секретар також можуть входити до складу делегації?

1.8. Із групи 20-и студентів обирають голову та секретаря зборів, а також делегацію з 5-х осіб. Скількома способами це можна здійснити, якщо голова та секретар повинні входити до складу делегації?

1.9. Для участі у вікторині “ Що? Де? Коли?” необхідно створити команду з 5-х осіб. Серед 20-и кандидатів – 5 члени хімічної секції, 4 члени математичної і 3 члени історичної секції. Скількома способами можна сформувати команду, щоби до неї входили по одному членові кожної з цих секцій?

1.10. У розпорядженні агрохіміків є 6 типів мінеральних добрив. Вивчається вплив кожної трійки добрив на врожайність, використовуючи дослідницьку ділянку площею 1 га. Якою має бути площа всього поля, якщо всі можливі експерименти проводяться одночасно?

1.11. Скількома способами можна утворити букет із 5 квітів, якщо квіти беруться з вази, у якій є 5 рожевих і 10 червоних троянд?

1.12. Квіти для букетів вибираються з вази, у якій є 5 рожевих і 10 червоних троянд. Скількома способами можна утворити букет із 5 квітів за умови, щоб у ньому було не більше 2 рожевих квіток?

1.13. До складу експедиції входять 5 хлопців і 3 дівчини. Для участі в розкопках прийшло 3 запрошення. Скількома способами можна розподілити ці запрошення так, щоб туди потрапила лише одна дівчина?

1.14. До складу експедиції входять 5 хлопців і 3 дівчини. Для участі в розкопках прийшло 3 запрошення. Скількома способами можна розподілити ці запрошення так, щоб туди потрапила хоча б одна дівчина?

1.15. Будемо вважати словом будь-яку послідовність літер. Скільки чотирисимвольних слів можна утворити з літер англійської абетки?

1.16. Будемо вважати словом будь-яку послідовність літер. Скільки чотирисимвольних слів можна утворити з літер англійської абетки за умови, що слово не може починатися з голосної?

1.17. Будемо вважати словом будь-яку послідовність літер. Скільки чотирисимвольних слів можна утворити з літер англійської абетки за умови, що в слові не може бути поруч дві приголосні?

1.18. Будемо вважати словом будь-яку послідовність літер. Скільки чотирисимвольних слів можна утворити з літер англійської абетки за умови, що всі літери в слові є різні?

1.19. На зборах обирають актив групи з 5 осіб: старосту, заступника старости та 3-х членів студради. Скільки різних варіантів існує, якщо в групі є 30 студентів?

1.20. У класі 16 учнів. Факультатив із математики відвідують двоє хлопців та семеро дівчат. Учитель хоче відібрати ведучу та ведучого математичного вечора. Скільки потрібно буде переглянути пар (хлопець, дівчина), щоб обрати найкращих?

1.21. Для нагородження книжкою кожного із 3-х переможців математичної олімпіади закупили 5 різних книжок. Скількома способами можна розподілити призи поміж переможцями?

1.22. Для оцінювання філологічного КВК потрібно зі 7-и членів студради та 5 викладачів обрати журі у складі 5 осіб, у яке б входив хоча б один викладач. Скількома способами це можна зробити?

1.23. Для оцінювання лінгвістичного КВК треба зі 7 членів студради та 5 викладачів обрати журі у складі 5 осіб, у яке б входило 2 члени студради. Скількома способами це можна зробити?

1.24. Для оцінювання лінгвістичного КВК треба зі 7 членів студради та 5 викладачів обрати журі у складі 5 осіб, у яке б входило не більше 2 членів студради. Скількома способами це можна зробити?

1.25. В їдальні при замовленні обіду на перше можна вибрати борщ, солянку чи грибну юшку, на друге — м’ясо з макаронами, рибу з картоплею чи курку з рисом, а на третє — чай або узвар. Скільки різних обідів можна замовити на основі такого меню?

1.26. Жінка забула в таксі парасольку. Вона пам’ятає лише першу цифру номера машини — “2”. У місті номери автівок були тризначними та складалися з цифр 1, 2, 3, 4 і 5. Скількох водіїв у найгіршому випадку доведеться опитати, щоб віднайти загублену річ?

1.27. Сашко, Леся, Денис, Катруся й Тетянка часто бувають у кафе. Кожен раз вони сідають за стіл інакше. Скільки днів друзі зможуть це робити без повторень?

1.28. У змаганнях з фігурного катання брали участь росіяни, італійці, українці, німці, китайці та французи. Скількома способами можуть розподілитися призові місця після закінчення змагань?

1.29. У випускному класі 6 учнів є відмінниками. Департамент освіти вирішив нагородити цих учнів путівками, але, на жаль, є лише 4 путівки. Скільки можливих варіантів вибору учнів для нагородження?

1.30. Військовий підрозділ складається з 5 офіцерів, 8 сержантів і 70 рядових. Скількома способами можна утворити загін із 2 офіцерів, 4 сержантів та 15 рядових для виконання завдання?

1.31. В ювелірну майстерню привезли 6 діамантів, 9 аметистів та 7 сапфірів. Ювеліру замовили браслет, в якому повинно бути 6 коштовних каменів. Скільки різних браслетів можна запропонувати за таким замовленням?

1.32. В ювелірну майстерню привезли 6 діамантів, 9 аметистів та 7 сапфірів. Ювеліру замовили браслет, в якому повинно бути 6 каменів, серед яких не менше ніж 3 діаманти та 2 сапфіри. Скільки різних браслетів можна запропонувати за таким замовленням?

1.33. П’ятисимвольний код сейфу починається з двох голосних української абетки та завершується 3-а різними цифрами. Скільки варіантів необхідно перебрати, щоби відгадати код?

1.34. На 2‑у курсі студенти вивчають 15 різних предметів. Необхідно скласти розклад, таким чином, щоби кожен предмет читався лише раз на тиждень, і кожного дня можна поставити лише 3 пари. Скільки варіантів такого розкладу існує?

1.35. На 2‑у курсі студенти вивчають 15 різних предметів. Скільки варіантів розкладу на один день існує, якщо цього дня повинно бути 4 пари?

1.36. На 2‑у курсі студенти вивчають 15 різних предметів. Скільки варіантів розкладу на один день існує, якщо в цей день повинно бути не більше 4‑х пар?

1.37. На 2‑у курсі студенти вивчають 15 різних предметів. Скільки варіантів розкладу на один день існує, якщо в цей день повинно бути не менше 2‑х пар і не більше ніж 4?

1.38. У Ніни є сім книжок з фантастики, а у Мирослави – дев’ять. Скількома способами вони можуть обмінятися одна із одною п’ятьма книгами?

1.39. Скількома способами можна обтягнути шість старих стільців новою тканиною, якщо є тканина шести різних кольорів, і всі стільці повинні бути різнобарвними?

1.40. Скількома способами можуть розташуватися у турнірній таблиці 10 футбольних команд, якщо відомо, що жодні з двох команд не набрали однакової кількості очок?

1.41. У цеху працює 8 токарів. Скількома способами можна доручити трьом із них виготовлення трьох різних деталей (по одній на кожного майстра)?

1.42. Скількома способами можна укласти список промовців на зборах, якщо планує виступати 5 осіб за умови, що першим із них повинен виступати головуючий?

1.43. На зборах планує виступати 5 осіб (А, Б, В, Г, Д). Скількома способами можна укласти список промовців, якщо виступ Б не може передувати виступу А?

1.44. На зборах планує виступати 5 осіб (А, Б, В, Г, Д). Скількома способами можна укласти список промовців, за умови, що виступи В та Г повинні стояти один за одним?

1.45. Для автомобільних номерів використовуються цифри та літери. Кожен номер складається з двох літер і чотирьох цифр. Яка найбільша кіль­кість машин може отримати номер?

1.46. В організації ООН визнано п’ять міжнародних мов спілкування. Скільки треба мати двомовних словників у цій організації для перекладу, щоби перекладати із будь-якої міжнародної мови на будь-яку іншу міжнародну мову?

1.47. Скільки різних слів можна утворити переставлянням літер у слові «АБАБАГАЛАМАГА»?

1.48. Скількома способами можна скласти триколірний смугастий прапор, якщо є тканини п’яти кольорів?

1.49. Скількома способами можна скласти триколірний смугастий прапор, якщо є тканина п’яти кольорів за умови, що одна зі смуг повинна бути червоною?

1.50. Існує десять ліхтарів, кожен з яких світить іншим кольором і може бути або виключений, або включений. Скільки різних сигналів можна передати за допомогою усіх цих ліхтарів?

1.51. Існує десять ліхтарів, з яких три світять червоним кольором, два – жовтим, чотири – зеленим і один – білим кольором. Кожен із ліхтарів повинен бути включений. Скільки різних сигналів можна передати за допомогою усіх цих ліхтарів?

1.52. Скількома способами можна поселити 7 студентів у 3 кімнати: одномісну, двомісну та чотиримісну?

1.53. Скількома способами можна поселити 7 студентів у 4 кімнати: дві одномісні, одну двомісну та тримісну?

1.54. Три хлопці та три дівчини сідають на 6 розташованих поруч стільців. Причому хлопці сідають на місця з непарними номерами, а дівчата – на місця з парними номерами. Скількома способами можна це зробити, якщо стільці розташовані в один ряд?

Завдання 2. Задано множину . Записати 5 варіантів побудови відповідної комбінаторної конфігурації з елементів множини .

2.1. Розміщення без повторень із елементів множини по 7 елементів.

2.2. Розміщення з повтореннями з елементів множини по 7 елементів.

2.3. Сполуки без повторень із елементів множини по 7 елементів.

2.4. Сполуки з повтореннями з елементів множини по 7 елементів.

2.5. Перестановки елементів множини .

2.6. Розміщення без повторень із елементів множини по 3 елементи.

2.7. Розміщення з повтореннями з елементів множини по 3 елементи.

2.8. Сполуки без повторень із елементів множини по 3 елементи.

2.9. Сполуки з повтореннями з елементів множини по 3 елементи.

2.10. Перестановки з повтореннями на множині .

Поиск по сайту: