Розв'язування.

А) 1-ий спосіб. Обчислимо значення суми , безпосередньо використовуючи формулу сполук без повторень (3):

.

2-ий спосіб. Обчислимо значення розглядуваної суми , використовуючи властивості сум біноміальних коефіцієнтів:

, , .

Згідно властивості суми непарних членів бінома Ньютона: — отримаємо значення .

Б) 1-ий спосіб.

.

2-ий спосіб . Використовуючи властивість біноміальних коефіцієнтів, розглянуту у пункті А, – значення суми парних біноміальних коефіцієнтів , – знайдемо шукане значення:

Відповідь: значення заданих сум є такими: А) ; Б) .

Задача 3.

Обчислити коефіцієнти многочлена:

А) ;

Б) .

Розв'язування. Розв'язання розглядуваних завдань ґрунтуватиметься на формулі (9).

А) Здійснимо заміну параметра а на у формулі бінома Ньютона, тоді

Таким чином, коефіцієнти многочлена будуть наступними:

Б) 1-ий спосіб. Застосовуючи формулу бінома Ньютона виду (9), знайдемо коефіцієнти многочлена 5-го степеня від трьох змінних , ввівши такі позначення: , .

Тоді отримаємо:

Кожен вираз у дужках розкриємо, використовуючи формулу (9) для кожного значення степеня , та отримаємо

;

;

;

.

Підставимо отримані вирази у співвідношення для :

Тепер зведемо подібні члени з однаковими коефіцієнтами, розкривши дужки, та отримаємо

Отже,

2-ий спосіб. Використаємо комбінаторні об'єкти для канонічного представлення многочлена k степеня від n змінних: число перестановок з повтореннями та число комбінацій з повтореннями.

Загальна кількість членів, які буде містити отриманий многочлен після розкриття дужок та зведення подібних членів, буде дорівнювати

.

Розглядуваний многочлен залежить від 3-х змінних, тоді в нашому випадку та — степінь многочлена. Тому загальна кількість членів (доданків), які буде містити результуючий многочлен становитиме . Якщо підрахувати число доданків, які ми отримали в результуючому виразі для за першим способом, то отримаємо те саме значення 21.

Коефіцієнти такого многочлена можна отримати за допомогою поліно­міальної формули (6), згідно якої у заданому прикладі а степінь змінної , степінь змінної , степінь змінної у кожному з доданків формули.

Тоді за співвідношенням (6) коефіцієнт, що стоїть при , буде дорівнювати . Аналогічними будуть коефіцієнти при та .

Обчислимо коефіцієнт, що стоїть біля члену . За вищевказаною формулою він буде дорівнювати . Аналогічно знаходяться коефіцієнти для , , , та .

Визначимо коефіцієнт, що стоїть біля виразу , за формулою (6): . Таке ж значення коефіцієнта, що стоїть при , , , та .

Коефіцієнт, що стоїть при , дорівнює відповідно , як і аналогічні коефіцієнти при та .

Коефіцієнт при члені визначимо як . Таке ж значення коефіцієнтів, що стоять при та .

Тоді многочлен можемо записати у вигляді:

Таким чином, коефіцієнти, обчислені за поліноміальною формулою, повністю співпадають із коефіцієнтами, визначеними за допомогою першого способу.

Відповідь: задані многочлени матимуть таке розвинення:

1)
2)

Задача 4.

У заданому виразі розкрили дужки та звели подібні члени. Скільки членів буде містити многочлен та яким буде коефіцієнт, що стоятиме при доданку у цьому многочлені?

Розв'язування. Загальна кількість членів, які входитимуть у многочлен го степеня від змінних після розкриття дужок та зведення подібних членів буде дорівнювати числу сполук із повтореннями, що визначається формулою (4)

Коефіцієнти такого многочленна можна отримати за допомогою полі­номіальної формули (6), де степінь при і-ій змінній у відповідному члені многочлена.

У многочлені число змінних 3, а його степінь 9: , . Загальна кількість членів, які буде містити заданий многочлен після розкриття дужок та зведення подібних членів, буде становити

.

Коефіцієнт при члені дорівнюватиме .

Відповідь: кількість доданків дорінює 55, а значення коефіцієнта при відповідному членові — 1260.

Задача 5.

Скільки цілочисельних розв'язків мають наступні рівняння?

1) ;

2) .

Розв'язування. Загальна кількість цілочисельних невід'ємних розв'язків рівняння

, де ,

визначається за формулою числа сполук з повтореннями (4).

А) Задане рівняння залежить від чотирьох змінних ( ), кожна з яких може набувати цілочисельного невід'ємного значення від 0 до . Отже, загальне число таких розв’язків розглядуваного рівняння буде дорівнювати

.

Б) Лінійне рівняння , що залежить від семи змінних , має скінченну множину цілочисельних невід'ємних розв'язків, значення кожної з цих змінних не перевищує числа . Потужність цієї множини дорівнює загальній кількості цілочисельних розв'язків розглядуваного рівняння та буде визначатися за числом сполук із повтореннями:

.

Відповідь: кількість невід'ємних цілочисельних розв'язків відповідного рівняння становитиме А)120; Б) 54264.

Задача 6.

Знайти середній член розкладу виразу

.

Розв'язування У формулі бінома Ньютона покладемо , , , тоді заданий розклад матиме вигляд .

Для встановлення лічби доданків у розглядуваному співвідношенні використаємо відому формулу (4) числа комбінацій з повтореннями , що вкаже на 13 доданків. Отже, середній член розкладу матиме номер 7, і це буде член при (0..6) з коефіцієнтом . А сам член розкладу дорівнює

.

Відповідь: середній член розкладу буде дорівнювати 924 .

Задача 7.

Знайти член розкладу бінома , який містить , якщо сума всіх його біноміальних коефіцієнтів дорівнює 128.

Поиск по сайту: