Розв'язування.

Для знаходження загального розв'язку лінійного однорідного рекурентного рівняння використаємо метод характеристичного рівняння. Це характеристичне рівняння отримуємо з припущення, що розв'язком такого рівняння є вираз . Підставляємо цей вираз у рівняння, скорочуємо на спільний вираз, яким буде степінь числа , отримаємо многочлен відповідного степеня, який і буде характеристичним рівнянням.

А) Отже, покладемо у лінійне однорідне рекурентне рівняння співвідношення та отримаємо вираз . Скоротимо кожен з його членів на і тоді характеристичним рівнянням розглядуваного рекурентного буде рівняння вигляду , тобто, . Корені цього квадратного рівняння отримаємо за теоремою Вієта і будемо мати , . Оскільки корені дійсні різні, то загальний розв'язок лінійного однорідного рекурентного рівняння буде мати вигляд

,

де — невизначені константи, які залежать від початкових умов задачі.

Б) Рівняння є неоднорідним лінійним рівнянням першого порядку, оскільки кожен член рекурентного співвідношення залежить лише від одного попереднього члена, а також є вплив неоднорідності виду . За теоремою про структуру лінійного неоднорідного рівняння його розв'язок складається зі суми загального розв'язку відповідного однорідного рівняння та деякого частинного розв'язку неоднорідного рівняння, індукованого неоднорідністю :

.

Знайдемо загальний розв'язок однорідного рівняння . Його характеристичне рівняння матиме вигляд . Тоді загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння першого порядку буде таким

.

Для знаходження частинного розв'язку розглядуваного рівняння з неоднорідністю використаємо метод підбору невизначених коефіцієнтів, враховуючи, що . Отже, , оскільки неоднорідність є константою. Значення цієї константи встановимо, підставляючи у неоднорідне рівняння, зауважуючи також, що має місце рівність .

Так як , то , тому .

Таким чином, .

Перевіримо, підставляючи загальний розв'язок неоднорідного рівняння у задане :

.

Ця рівність є тотожністю, бо .

Коефіцієнт залежить від початкових умов.

Відповідь: загальний розв'язок кожного рівняння відповідно буде таким:

1) ;

2) .

Задача 9.

Розв'язати рекурентні рівняння для заданих початкових умов.

1) , , ;

2) , .

Поиск по сайту: