Мои Конспекты
Главная | Обратная связь

...

Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

от знакопеременных функций





Помощь в ✍️ написании работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Если интеграл сходится, то несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся.

1. Если несобственный интеграл второго рода сходится абсолютно, то он сходится.

2. Если интеграл абсолютно сходящийся, а функция g(x) ограничена на промежутке [a; b), то интеграл также сходится абсолютно.

З а м е ч а н и е 2. Если несобственный интеграл второго рода от знакопеременной функции не сходится абсолютно, то это еще не означает, что он расходится. Для исследования на сходимость данного интеграла необходимо использовать другие признаки.

 

Пример 1. Исследовать интеграл на сходимость и в случае сходимости вычислить его.

Решение. Подынтегральная функция неограничена в окрестности точки Обозначим где

Вычислим этот интеграл

Заключаем, что конечный предел существует при и не существует при

Мы получили следующий результат:

(21.16)

Аналогично можно показать, что для функций , и интегралы и сходятся при и расходятся при

 

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

1) 2) 3) 4)

Решение. 1) Подынтегральная функция имеет особенность в точке – правом конце промежутка интегрирования. Для вычисления интеграла используем формулы (21.11) и (21.12):

2) Подынтегральная функция имеет особенность в точке – в левом конце промежутка. Согласно формуле (21.13) и формуле Ньютона-Лейбница, имеем:

Интеграл расходится.

3) Подынтегральная функция имеет две особые точки: – концы промежутка интегрирования.

Тогда

4) Подынтегральная функция имеет особенность во внутренней точке промежутка интегрирования. Для вычисления интеграла используем формулу (21.14) и формулу Ньютона-Лейбница. Получим:

 

Пример 3. Исследовать интеграл на сходимость:

1) 2) 3)

Решение. 1) Подынтегральная функция имеет особенность в точке Сравним функцию с функцией По правилу Лопиталя вычислим предел

Если то Это означает, что функции и эквивалентны при Поскольку расходится интеграл (пример 1, с. 155–156), то расходится также интеграл

2) Подынтегральная функция имеет особенность в точке Так как при то справедлива эквивалентность при Поэтому из сходимости интеграла (пример 1, с. 141) следует сходимость интеграла

3) Подынтегральная функция является знакопеременной функцией на промежутке (0; 1]. Исследуем интеграл на абсолютную сходимость. Так как для любого то

Поскольку показатель то согласно формуле (21.16) интеграл сходится.

Отсюда следует, что заданный интеграл сходится абсолютно.

 

Пример 4. Найти главное значение несобственного интеграла

Решение.Интеграл от функции на отрезке [1; 5] расходится (пример 1, с. 155–156). Однако он сходится в смысле главного значения.

 

Задания

 

I уровень

1.1. Вычислите несобственный интеграл второго рода или установите его расходимость:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

 

1.2. Исследуйте несобственный интеграл второго рода на сходимость:

1) 2) 3) 4)

 

II уровень

2.1. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

 

2.2. Исследуйте несобственный интеграл второго рода на сходимость:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

 

III уровень

3.1. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

 

3.2. Найдите главное значение несобственного интеграла второго рода:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

3.3. Исследуйте несобственный интеграл на сходимость:

1) 2)

3) 4)

 

3.4. Вычислите несобственный интеграл второго рода, используя формулу интегрирования по частям:

1) 2) 3)

5) 4) 6)

Доверь свою работу ✍️ кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.