Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Свойства умножения матриц.



Для любых матриц K , K , K и любого числа

Kсправедливы равенства:

1. (ассоциативность умножения);

2. (дистрибутивность по первому сомножителю);

3. (дистрибутивность по второму сомножителю);

4. ;

5. ;

6. .

Доказательство.

1. Из определения 1 следует, что произведения , , и имеют смысл и две последние матрицы имеют строение на . Следовательно, нужно доказать, что в равенстве 1 в обеих частях на одинаковых местах стоят равные элементы.

, где . Теперь рассмотрим элемент матрицы , стоящий в - ой строке и - ом столбце:

для всех . Следовательно, .

2. Из определения 1 следует, что матрицы , , в равенстве 2 определены и имеют одинаковое строение на . Следовательно, матрицы в обеих частях равенства 2 имеют одинаковое строение и нужно доказать, что в обеих частях на одинаковых местах стоят равные элементы.

Рассмотрим элемент

для всех . Здесь мы воспользовались ещё определением сложения матриц, коммутативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью для чисел.

Следовательно, по определению 8 справедливо равенство .

Свойство 3 (дистрибутивность по второму сомножителю), которое доказывается аналогично свойству 2, предлагается доказать самостоятельно.

4. Из определения 1 и определения умножения матрицы на число следует, что матрицы , , определены и имеют одинаковое строение на . Следовательно, нужно доказать, что в обеих частях равенства 4 на одинаковых местах стоят равные элементы.

для всех .

Следовательно, . Здесь мы воспользовались ещё определением умножения матрицы на число, ассоциативностью и дистрибутивностью для чисел.

Равенство , которое доказывается аналогично предыдущему, предлагается доказать самостоятельно.

5. Из определения 1 следует, что матрицы и определены и имеют одинаковое строение на . Следовательно, все матрицы в равенствах 5 имеют одинаковое строение и нужно доказать, что на одинаковых местах стоят равные элементы.

для всех .

Следовательно, . Аналогично доказывается равенство .

6. Из определения 1 следует, что обе матрицы и имеют одинаковое строение на , причём все элементы обеих матриц равны нулю. Следовательно, . Аналогично доказывается равенство .

Замечание 1. Пусть K .Тогда в силу ассоциативности умножения матриц справедливо равенство . Таким образом, способ расстановки скобок в этом произведении безразличен, так же, как и способ расстановки скобок в произведении . Отсюда получаем, корректность следующего определения.




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.