Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Определители 2-го и 3-го порядков.



Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (1). Умножим первое уравнение на число , второе уравнение - на и сложим получившиеся уравнения. В результате получим уравнение .

Теперь умножим первое уравнение на число , а второе - на и сложим получившиеся равенства. В результате получим:

.

Если число , то из получившихся равенств следует, что

. Если эти выражения подставить в систему (1), то получим верные равенства. Рассмотрим выражения в числителях и в знаменателе полученных дробей.

Матрицу называют матрицей системы (1). Выражение, стоящее в знаменателях дробей, вычисляется по правилу: от произведения диагональных элементов матрицы вычитается произведение её внедиагональных. В случае квадратной матрицы второго порядка совокупность внедиагональных элементов называют побочной диагональю. Это число называют определителем матрицы и обозначают так: или так: . Этот определитель называют определителем данной системы. Теперь заменим первый столбец матрицы столбцом , который называют столбцом свободных членов. В результате получим матрицу . Подсчитаем по данному выше правилу определитель матрицы : .

Таким образом, если , то .

Теперь заменим второй столбец матрицы столбцом . В результате получим матрицу . Подсчитаем по данному выше правилу определитель матрицы : . Таким образом, если , то .

Обозначим .Итак, если определитель данной системы отличен от нуля, то решение системы (1) находится по формулам: , которые называются формулами Крамера.

 

Определитель второго порядка – это число, которое ставится в соответствие квадратной матрице второго порядка и которое вычисляют по указанному выше правилу: от произведения элементов главной диагонали вычитают произведение элементов побочной диагонали. Схематически это можно изобразить так:

 

На этой схеме элементы матрицы схематически изображены точками.

 

Рассмотрим теперь систему из трёх линейных алгебраических уравнений от трёх неизвестных (2).

 

 

Умножим первое уравнение на число , второе - на , а третье – на и сложим получившиеся уравнения. В результате получим уравнение

.

Теперь умножим первое уравнение на число , второе уравнение - на , а третье – на и сложим получившиеся уравнения. В результате получим уравнение

.

Теперь умножим первое уравнение на число , второе уравнение - на , а третье – на и сложим получившиеся уравнения. В результате получим уравнение

.

Все четыре получившиеся выражения получаются из соответствующих матриц третьего порядка по одному и тому же правилу. Изобразим это правило схематически так:

На этой схеме элементы матрицы схематически изображены точками.

 

Матрицу называют матрицей системы (2). Определителем матрицы называют число . Это же число называют определителем системы (2).

Обозначим его так: .

Обозначим теперь через матрицы, которые получаются из матрицы в результате замены первого, второго и третьего столбцов соответственно столбцом свободных членов, т.е. столбцом , а их определители через и соответственно. Тогда

и

;

;

.

 

Если определитель матрицы , т.е. определитель системы (2) не равен нулю, то решение этой системы находится по формулам:

 

, которые называются формулами Крамера.

Подобные формулы существуют и для систем из линейных алгебраических уравнений от неизвестных. Однако чтобы дать определение определителя квадратной матрицы порядка , нам понадобятся дополнительные сведения, которые мы рассмотрим в следующем параграфе.

 




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.