Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Определение определителя - го порядка.



Определение 1. Определителемквадратной матрицы K порядка называется число, равное алгебраической сумме всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. Слагаемое берётся со знаком плюс, если перестановка вторых индексов чётная, при условии, что первые индексы стоят в порядке возрастания. Слагаемое берётся со знаком минус, если перестановка вторых индексов нечётная, при условии, что первые индексы стоят в порядке возрастания.

 

Определитель квадратной матрицы -го порядка называют определителем -го порядка.

Замечание 1. Определитель имеет смысл только для квадратной матрицы. Если

, то определитель матрицы обозначают так: или так:

. Очевидно, K.

Запишем словесное определение с помощью формулы. В каждое слагаемое определителя входит сомножителем один элемент из каждой строки матрицы. Следовательно, каждое слагаемое можно записать так: . Вторые индексы сомножителей в этом произведении образуют перестановку, т.к. в это произведение входит сомножителем один элемент из каждого столбца. Поскольку определитель равен сумме всевозможных таких слагаемых, то таких слагаемых столько, сколько различных перестановок из элементов, т.е.

.

По определению определителя слагаемое берётся со знаком плюс, если перестановка чётная, и со знаком минус в противном случае. Таким образом, слагаемое

берётся со знаком , где Z.

Таким образом, определение определителя квадратной матрицы порядка может быть записано так:

.

В этой формуле суммирование ведётся по всевозможным перестановкам из элементов.

Покажем теперь, что данные выше определения определителей 2-го и 3-го порядков являются частными случаями определения определителя -го порядка.

Пример 1. Рассмотрим определитель . Выберем элементы из первой строки матрицы этого определителя. Это могут быть или . Если из первой строки выбрали , то из второй строки можно выбрать только , т.к. первый столбец уже «занят» ( стоит в первом столбце).

Если из первой строки выбрали , то из второй строки можно выбрать только , т.к. второй столбец уже «занят» ( стоит во втором столбце).

Теперь выясним, с каким знаком входит каждое из этих произведений в определитель. В обоих произведениях и сомножители стоят в порядке возрастания номеров строк. Поэтому нужно найти число инверсий в перестановках и . Очевидно, . Следовательно, берем со знаком плюс, а - со знаком минус. Таким образом, , что совпадает с определением определителя 2-го порядка, данным ранее.

 

Пример 2. Рассмотрим определитель . Выберем элементы из первой строки матрицы этого определителя. Это могут быть , или . Если из первой строки выбрали , то из второй строки можно выбрать или , т.к. первый столбец уже «занят» ( стоит в первом столбце).

Если из первой строки выбрали , то из второй строки можно выбрать или , т.к. второй столбец уже «занят» ( стоит во втором столбце).

Если из первой строки выбрали , то из второй строки можно выбрать или , т.к. третий столбец уже «занят» ( стоит в третьем столбце).

Если после выбора элементов в двух первых строках получили произведение , то в третьей строке можно выбрать только , т.к. первый и второй столбцы уже «заняты» ( стоит в первом столбце , а - во втором столбце). Таким образом, получим произведение .

Рассуждая аналогичным образом получим ещё пять слагаемых: .

Теперь выясним, с каким знаком входит каждое из этих произведений в определитель. Во всех произведениях сомножители стоят в порядке возрастания номеров строк. Поэтому нужно найти число инверсий в перестановках вторых индексов. Очевидно, .

Следовательно, со знаком плюс берем произведения , , .

Остальные произведения, т.е. берём со знаком минус.

Таким образом, , что совпадает с определением определителя 3-го порядка, данным ранее.

 

Определение 2. Квадратную матрицу порядка будем называть верхней треугольной, если все

её элементы, стоящие «под главной диагональю», равны нулю. Другими словами, если при условии, что .

- верхняя треугольная матрица.

 

Определение 3. Квадратную матрицу порядка будем называть нижней треугольной, если все

её элементы, стоящие «над главной диагональю», равны нулю. Другими словами, если при условии, что .

- нижняя треугольная матрица.

Общее название верхних треугольных и нижних треугольных матриц – треугольные матрицы.

 

 

Теорема. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов, т.е.

 

.

Доказательство проведём для верхних треугольных матриц. Для нижних треугольных матриц доказательство проводится аналогично.

Если какой-то элемент матрицы равен нулю, то слагаемое, в котором этот элемент является сомножителем, равно нулю и потому его можно не учитывать. Выберем в первом столбце , т.к. в этом столбце только не равен нулю. Во втором столбце выберем , т.к. первая строка уже «занята», а элементы всех остальных строк во втором столбце равны нулю. Рассуждая таким образом, выберем элементы в первых столбцах и получим произведение . В - м столбце выберем , т.к. первые строк уже «заняты», а элементы всех остальных строк в - м столбце равны нулю, и т.д. В результате получим произведение диагональных элементов . Эти элементы расположены в порядке возрастания номеров строк. Поэтому остаётся найти число инверсий в перестановке , которое, очевидно, равно нулю. Следовательно, это произведение берём со знаком плюс, и теорема доказана.

 




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.