Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Теорема 2. Критерий существования обратной матрицы.



Для того чтобы для квадратной матрицы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы существует обратная матрица . Тогда из определения 1 получаем: .

Следовательно, . Из теоремы об определителе произведения матриц следует, что . Таким образом,

. Следовательно, .

Достаточность. Пусть . Рассмотрим квадратную матрицу, которую обозначают так: и называют присоединённой (или союзной) к матрице .

. Покажем, что . Очевидно, K . Докажем, что . Найдём элемент, стоящий в - ой строке и - ом столбце матрицы :

 

для всех . Здесь мы воспользовались равенством (7)§8.

Следовательно, справедливо равенство .

Аналогично предыдущему можно доказать равенство , что предлагается сделать самостоятельно.

Замечание. Из доказанного, в частности, следует, что для любой квадратной матрицы (не только неособенной) справедливо равенство .

 

Пример. Найдём матрицу, обратную к матрице . Найдём определитель этой матрицы: . Следовательно, матрица неособенная, и для неё существует обратная. Найдём алгебраические дополнения всех её элементов:

. Следовательно, .

Продемонстрируем ещё один способ нахождения обратной матрицы, называемый методом Гаусса. Обоснование этого метода будет дано позже.

Выпишем расширенную матрицу . Действуя только над строками этой матрицы добьёмся того, чтобы слева от черты оказалась единичная матрица. Тогда справа от черты получим обратную матрицу .

.

 




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.