Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Простейшие свойства обратных матриц.



1. Если - квадратная неособенная матрица, то справедливо равенство: .

Доказывая необходимость теоремы 2, показали, что , откуда и получаем равенство .

2. Если - квадратная неособенная матрица, то для неё существует обратная матрица и .

Доказательство. Из определения обратной матрицы следует, что . Следовательно, по тому же определению 1 получаем: .

3. Если - квадратные неособенные матрицы одного порядка, то для матрицы существует обратная матрица и

.

Доказательство. Рассмотрим произведение этих матриц:

. Здесь мы воспользовались ассоциативностью умножения матриц и свойством единичной матрицы (свойства 1 и 5).

Аналогично проверяется, что произведение этих матриц в обратном порядке равно единичной матрице, что и доказывает равенство

.

4. Если - квадратная неособенная матрица, то существует матрица, обратная к матрице и .

Доказательство. Из определения обратной матрицы следует, что . Тогда по свойству 4 операции транспонирования получаем: . Следовательно, по определению обратной матрицы .

 

 

Теорема Крамера.

Теорема 2 §9 позволяет получить важные в теоретических приложениях формулы для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений.

 

Определение 1. Систему уравнений вида

(1)

будем называть системой из линейных алгебраических уравнений от неизвестных .

Числа будем называть коэффициентами системы, - свободными членами.

Матрицу будем называть матрицей системы (1), столбец - столбцом свободных членов системы (1), столбец - столбцом неизвестных.

Очевидно, произведение имеет смысл. Подсчитаем его: .

Из определения равенства матриц следует, что система (1) равносильна матричному равенству

(2).

Равенство (2) будем называть матричной записью системы (1). Если , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, то систему (1) будем называть квадратной.

Определение 2. Решением системы (1) будем называть упорядоченный набор чисел , удовлетворяющих равенствам (1), т.е. такой набор, для которого справедливы равенства

.

Этот упорядоченный набор чисел будем записывать в столбец .

Таким образом, - решение системы (1)




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.