Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Справочные материалы



Ряд расположенных во времени статистических данных, изменение которых отражает закономерность развития изучаемого явления, называется рядом динамики или временным рядом. Виды рядов динамики указаны на схеме 6.1.

Схема 6.1. Классификация рядов динамики

 

Ряды динамики можно изобразить в виде таблицы (табл. 6.1) и графически.

Таблица 6.1.

Фермерские хозяйства в России (на 1 января)

Год
Число фермерских хозяйств, тыс. 4,4 49,0 182,8 270,0 279,2 280,1 278,6 274,3
Средний размер земельного участка, га.

 

Моментный ряд динамики представлен в таблице 6.2.

Таблица 6.2

Численность безработных, зарегистрированных в органах государственной службы занятости, тыс. чел. (на конец года)

 

Интервальный ряд динамики представлен в таблице 6.3.

Таблица 6.3.

Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.

66,0 64,7 63,8 64,0 64,3

Средний уровень ряда динамики определяется в соответствии со следующими формулами:

 

  Интервальный ряд Моментный ряд
Средний уровень ряда средняя арифметическая средняя хронологическая
Расчет среднего уровня ряда по данным таблиц 6.2 и 6.3.      

 

Для характеристики изменения уровней ряда динамики рассчитывается ряд показателей:

Показатель Цепной Базисный
Абсолютный прирост
Коэффициент роста
Темп роста
Коэффициент прироста
Темп прироста
Абсолютное значение (содержание) одного процента прироста
Пункты роста
Средний коэффициент роста Или где Ki – цепной коэффициент роста в i-ом периоде; wi – вес i-ого периода, исчисляемый как
Средний коэффициент прироста
Средний темп роста
Средний темп прироста

 

Период удвоения явления. Расчет периода удвоения можно сделать следующим образом:

,

где х - период удвоения,

К - заданный коэффициент роста.

Менее точно, но более просто расчет периода удвоения можно сделать и так:

,

 

где d - cредний прирост в процентах.

 

Пример 6.2. Если население страны ежегодно увеличивается на 1%, то надо ожидать, что его численность удвоится за период длительностью:

года.

Менее точно этот же результат может быть получен и так: лет.

 

Пример 6.3. Если банковский вклад приносит 5% годовых, то он удвоится за период длительностью:

года.

Или, если применить более простой способ, через: лет.

Пример 6.1.Рассчитать показатели роста и прироста для анализа динамики производства электроэнергии в РФ (источник: Регионы России, 2002 год). (1995 – базисный год)

Таблица 6.4

Динамика производства электроэнергии в РФ

Год Производство электроэнергии Абсолютный прирост Темпы роста Темпы прироста, %   Пункты роста, %
Dyц. = = yi – yi-1 D = =yi – y1 Tр.ц ==(yi/yi-1)×100 Tр.б. ==( yi/y1)×100 Тпр.цр.ц. – 100% Тпр.б. = Тр.б – 100% А%
14,9 - - - (14,9/14,9)*100=100,0 - 100,0 - 100,0=0,0% - -
14,6 14,6-14,9= =-0,3 14,6-14,9= =-0,3 (14,6/14,9)*100=97,99 (14,6/14,9)*100=97,99 97,99-100= =-2,01% 97,99-100= =-2,01% 0,149 -2,01
13,0 13,0-14,6= =-1,6 13,0-14,9= =-1,9 (13,0/14,6)*100=89,04 (13,0/14,9)*100=87,25 89,04-100= =-10,96% 87,25-100= =-12,75% 0,146 -10,74
10,9 10,9-13,0= =-2,1 10,9-14,9= =-4,0 (10,9/13,0)*100=83,85 (10,9/14,9)*100=73,15 83,85-100= =-15,15% 73,15-100= =-26,85% 0,130 -14,1
11,5 11,5-10,9= =0,6 11,5-14,9= =-3,4 (11,5/10,9)*100=105,50 (11,5/14,9)*100=77,18 105,5-100= =5,5% 77,18-100= =-22,82% 0,109 4,03
10,7 10,7-11,5= =-0,8 10,7-14,9= =-4,2 (10,7/11,5)*100=93,04 (10,7/14,9)*100=71,81 93,04-100= =-6,96% 71,81-100= =-28,19% 0,115 -5,37
15,7 15,7-10,7= =5,0 15,7-14,9= =0,8 (15,7/10,7)*100=146,73 (15,7/14,9)*100=105,37 146,73-100= =46,73% 105,37-100= =5,37% 0,107 33,56
    å = 0,8   П = 1,05369         å=5,37

 

Средний коэффициент роста составит

Следовательно, средний темп роста здесь составил 100,875%, а средний темп прироста равен –0,875%.

 

Преобразование временных рядов представлено на схеме 6.2

Схема 6.2. Преобразование временных рядов

Для приведения рядов к одному основанию выбирается один, общий для всех рядов начальный период, который берется за 100%.

 

Пример 6.4. Имеются следующие данные о численности населения Ростовской области за ряд лет:

Таблица 6.5.

Численность населения Ростовской области ( тыс. чел. на начало года)

 
Городское 2420,4 3101,6 3097,8 3016,8 2994,5
Сельское 1410,9 1211,5 1250,0 1366,1 1407,0

Если взять за базу 1970 г., то более быстро растет городское население:

Таблица 6.6.

Динамика численности населения Ростовской области в процентах к 1970 г.

 
Городское 100,0 128,1 127,9 124,6 123,7
Сельское 100,0 85,9 88,6 96,8 99,7

Если взять за базу 1988 г., то более быстро растет сельское население:

Таблица 6.7

Динамика численности населения Ростовской области в процентах к 1988 г.

 
Городское 100,0 99,9 97,3 96,5
Сельское 100,0 103,2 112,8 116,1

 

 

Смыкание рядов возможно, если ряды имеют хотя бы один общий период.

 

Пример 6.5. По одному из районов области имеются данные о численности населения с 1970 г. по 1990 г. в одних границах, а с 1990 г. по 1998 г. - в других.

Таблица 6.8.

Численность населения района на начало года, тыс. чел.

 
В старых границах    
В новых границах    

 

Т.к. у двух рядов имеется один общий год, то их смыкание возможно. По данным этого общего года исчисляем коэффициент пересчета данных для старых границ в данные для новых границ:

С помощью этого коэффициента проведем пересчет численности населения:

для 1970 г. 200 ×1 ,25 = 250; для 1985 г. 230 × 1,25 = 287,5

Можно сделать и обратный пересчет - из новых границ в старые:

для 1995 г. 330 / 1,25 = 264; для 1998 г. 340 /: 1,25 = 272

В результате этих пересчетов получаем такую таблицу:

Таблица 6.9.

Численность населения района на начало года, тыс. чел.

 
В старых границах
В новых границах 287,5

 

Одной из важнейших задач статистики является выявление в рядах динамики основной тенденции развития явления (схема 6.3.):

Схема 6.3. Анализ основной тенденции развития в рядах динамики

Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики.

Пример 6.6. Имеются данные об объеме производства продукции предприятия (по месяцам) в сопоставимых ценах, млн. руб.

Таблица 6.10.

Месяц Объём производства Месяц Объём производства
Январь 5,1 Июль 5,6
Февраль 5,4 Август 5,9
Март 5,2 Сентябрь 6,1
Апрель 5,3 Октябрь 6,0
Май 5,6 Ноябрь 5,9
Июнь 5,8 Декабрь 6,2

 

Вычислим среднемесячный выпуск продукции по кварталам, т.е. укрупним интервалы:

Таблица 6.11.

Объем производства продукции предприятия (по кварталам) в сопоставимых ценах, млн. руб.

Квартал Объём производства за квартал В среднем за месяц
I 15,7 5,23
II 16,7 5,57
III 17,6 5,87
IV 18,1 6,03

После укрупнения интервалов основная тенденция роста производства стала очевидной: 5,23<5,57<5,87<16,03

 

Пример 6.7.Имеются ежемесячные данные об уровне доходов КБ «Восток» от проведения валютных операций, млн. руб.

Таблица 6.12.

Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
5,4 6,2 5,9 6,0 5,8 6,8
Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
6,1 6,3 6,2 6,9 7,0 6,7

Различные направления изменений уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции доходности валютных операций. Укрупним интервалы:

Таблица 6.13.

Уровень доходов (по кварталам), млн. руб.

Квартал Уровень доходов за квартал В среднем за месяц
I 17,5 5,83
II 18,6 6,20
III 18,7 6,23
IV 20,6 6,87

Неравенство 5,83<6,20<6,23<6,87 свидетельствует об увеличении доходности валютных операций.

Метод скользящей средней основан на том, исчисляется средний уровень из определенного числа первых уровней ряда, а затем из того же числа уровней ряда, но уже начиная со второго по счету и т.д.

 

Пример 6.8. Рассчитаем скользящую среднюю по данным об урожайности зерновых культур.

Таблица 6.14.

Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га

Год Фактический уровень урожайности Скользящая средняя
Трехлетняя Пятилетняя
15,4 - -
14,0 (15,4+14,0+17,6)/3=15,7 -
17,6 (14,0+17,6+15,4)/3=15,7 (15,4+14,0+17,6+15,4+10,9)/5=14,7
15,4 (17,6+15,4+10,9)/3=14,6 (14,0+17,6+15,4+10,9+17,5)/5=15,1
10,9 14,6 15,2
17,5 14,5 17,1
15,0 17,0 16,8
18,5 15,9 17,6
14,2 15,9 -
14,9 - -
  åy=153,4    

Пример 6.9. Имеются данные о количестве пластиковых карт VISA, эмитированных коммерческим банком «Дельта», тыс. шт.

Таблица 6.15.

Год Количество эмитированных карт, тыс. шт. Скользящая средняя
Трехлетняя Пятилетняя
1,2 - -
2,3 -
2,2
4,5
5,9
2,5
3,6
6,2 -
7,6 - -

 

Метод аналитического выравнивания основывается на том, что общая тенденция рассчитывается как функция времени: . Определение теоретических уровней производится на основе адекватной математической модели, в качестве которой могут выступать линейная, показательная, экспоненциальная и другие функции, представленные в таблице 6.16.

Таблица 6.16.

Вид уравнения Отражаемая уравнением тенденция развития
Уравнение прямой Равномерный рост при а1>0 или равномерное падение при а1<0
Показательная функция Ускоряющийся рост при а1>0 или ускоряющееся падение при а1<0
Гипербола Замедляющееся падение при а1>0 или замедляющийся рост при а1<0
Парабола Рост, переходящий в падение, или падение, переходящее в рост в точке

 

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по прямой .

Параметры уравнения тренда могут быть найдены по следующим формулам:

Если периоды или моменты времени пронумеровать так, чтобы = 0, то

.

Методика нумерации моментов времени в этом случае различна для рядов имеющих четное и нечетное число наблюдений. Так, если число наблюдений нечетное, то нумерация проводится так:

 

Год
t -3 -2 -1

 

Если же число наблюдений четное, то нумерация соответственно:

 

Год
t -3 -2 -1

 

Пример 6.10. Имеются данные о расходах населения на медицинские услуги:

Таблица 6.17.

Год Уровень расходов на медицинские услуги, тыс.у.е. t t2 yt
А Б
2,1 -4 -8,4 1,93 0,17 0,0289 -2,07 4,2849
2,3 -3 -6,9 2,45 -0,15 0,0225 -1,55 2,4025
2,9 -2 -5,8 2,96 -0,06 0,0036 -1,04 1,0816
3,6 -1 -3,6 3,48 0,12 0,0144 -0,52 0,2704
3,9 -0,10 0,0100
4,5 4,5 4,52 -0,02 0,0004 0,52 0,2704
5,04 -0,04 0,0016 1,04 1,0816
5,5 16,5 5,56 -0,06 0,0036 1,56 2,4336
6,2 24,8 6,07 0,13 0,0169 2,07 4,2849
Итого 31,1 - 0,1019 - 16,1099

 

Таким образом, уравнение тренда может быть записано как , т.е. с каждым годом расходы на медицинские услуги возрастали на 0,5183 тыс. у.е.

Рассчитаем среднюю (стандартную) ошибку уравнения:

 

 

Здесь n – число наблюдений; m – число параметров в уравнении (а0 и а1).

 

Для оценки качества модели применяют F-критерий Фишера:

 

 

где y – фактические уровни ряда;

- выровненные уровни ряда;

- средний уровень ряда.

 

В нашем примере

Модель считается удовлетворительной, если , где .

Распределение F-критерия подчиняется закону распределения Фишера, фрагмент которой приводится ниже.

Таблица 6.18.

Процентные точки F – распределения ( )

 

161,4 18,5 10,13 7,71 6,61 5,59 4,96 4,35 4,17 7,88
199,5 19,0 9,55 6,94 5,79 4,74 4,10 3,49 3,32 5,30

 

В нашем примере , т.е. полученное уравнение считается значимым.

 

Анализ сезонных колебаний.Под сезонными колебаниями понимается периодически повторяющееся из года в год повышение и снижение уровней в отдельные месяцы или кварталы.

 

Пример 6.11. Имеются следующие данные:

Таблица 6.19.

Производство растительного масла в России в 1992-1993 гг. по месяцам, тыс. т.

Год Месяц
109,5 102,7 86,6 82,3 76,6 70,0 57,6 24,5 36,3 70,7 95,2 104,5
97,6 95,5 114,2 101,3 105,6 94,6 75,2 38,6 38,9 78,7 96,5 111,0

 

Если выявленные колебания не случайны, то они сохранятся и на укрупненных интервалах, например, квартальных.

 

Таблица 6.20.

Производство растительного масла в России в 1992-1993 гг. по кварталам

Год
Квартал I II III VI I II III IV
Произведено 298,8 228,9 118,4 270,4 307,4 301,5 152,7 286,2

 

 

При изучении рядов динамики, содержащих «сезонную волну», её выделяют из общей колеблемости уровней и измеряют. Существует ряд методов решения этой задачи. Для измерения «сезонной волны» рассчитывают либо абсолютные разности (отклонения) фактических уровней от среднего уровня, либо отношения месячных уровней к среднему уровню за год, так называемые индексы сезонности:

 

Пример 6.12. Произведем расчет индексов сезонности и абсолютных отклонений уровней от среднего на примере данных о производстве растительного масла в России в 1992 году.

Таблица 6.21.

Сезонные колебания производства растительного масла в России в 1992 г.

Месяц Производство масла, тыс.т. Индекс сезонности, % к среднемесячному уровню Абсолютное отклонение от среднемесячного уровня Абсолютное отклонение, % к среднемесячному уровню (Iсез -100%)2
Январь 109,5 143,4 33,125 43,4 1883,56 1097,266
Февраль 102,7 134,5 26,325 34,5 1190,25 693,006
Март 86,6 113,4 10,225 13,4 179,56 104,551
Апрель 82,3 107,8 5,925 7,8 60,84 35,106
Май 76,6 100,3 0,225 0,3 0,09 0,051
Июнь 70,0 91,7 -6,375 -8,4 68,89 40,641
Июль 57,6 75,4 -18,775 -24,6 605,16 352,501
Август 24,5 32,1 -51,875 -67,9 4610,41 2691,017
Сентябрь 36,3 47,5 -40,075 -52,5 2756,25 1606,006
Октябрь 70,7 92,6 -5,675 -7,4 54,76 32,206
Ноябрь 95,2 124,6 18,825 24,6 605,16 354,381
Декабрь 104,5 136,8 28,125 36,8 1354,24 791,016
Итого 916,5 1200,1 12270,84 7797,747

 

Средний месячный уровень за год:

 

Графическое изображение индекса сезонности наглядно показывает форму, характер сезонной волны, относительно среднемесячного уровня за год, принимаемого за 100%.

Для характеристики силы колеблемости уровней ряда динамики из-за сезонной неравномерности используется среднее квадратическое отклонение индексов сезонности (в процентах) от 100%

Для примера 6.12:

Этот же результат можно получить и по-другому, как коэффициент вариации (колеблемости):

, где - среднее квадратическое отклонение.

Для примера 6.12 сумма квадратов отклонений рассчитана в графе 7 таблицы 6.21, среднее значение уровня , отсюда:

,

т.е. результаты двух показателей и V - идентичны.

Расчет индексов сезонности за ряд лет можно осуществить двумя способами.

Первый способ состоит в определении простой средней за одни и те же месяцы изучаемого периода и сопоставлении их со средней за весь изучаемый период.

%

Второй способ заключается в том, что в начале вычисляют по каждому году индексы сезонности, а затем из индексов одноименных месяцев находится средняя арифметическая, которая и является индексом сезонности.

Пример 6.13. По данным о производстве растительного масла в 1992 и 1993 году рассчитаем индекс сезонности первым (табл. 6.22) и вторым (табл. 6.23) способами.

Таблица 6.22.

Расчет индекса сезонности за ряд лет первым способом

Месяц Производство масла, тыс.т. в 1992 г. Производство масла, тыс.т. в 1993 г. Среднее значение за два года Индексы сезонности
Январь 109,5 97,6 103,55 126,5184
Февраль 102,7 95,5 99,1 121,0813
Март 86,6 114,2 100,4 122,6697
Апрель 82,3 101,3 91,8 112,1621
Май 76,6 105,6 91,1 111,3068
Июнь 70,0 94,6 82,3 100,5549
Июль 57,6 75,2 66,4 81,12814
Август 24,5 38,6 31,55 38,54808
Сентябрь 36,3 38,9 37,6 45,94003
Октябрь 70,7 78,7 74,7 91,26916
Ноябрь 95,2 96,5 95,85 117,1104
Декабрь 104,5 111,1 107,8 131,711
Итого 916,5 1047,8 982,15  

 

Средний уровень за два года тыс. т.

 

Таблица 6.23.

Расчет индекса сезонности за ряд лет вторым способом

Месяц Производство масла, тыс.т. в 1992 году Производство масла, тыс.т. в 1993 году Индекс сезонности в 1992 году Индекс сезонности в 1993 году Общий индекс сезонности
Январь 109,5 97,6 143,4 111,7771 127,5743
Февраль 102,7 95,5 134,5 109,372 121,9201
Март 86,6 114,2 113,4 130,7883 122,0881
Апрель 82,3 101,3 107,8 116,0145 111,8861
Май 76,6 105,6 100,3 120,9391 110,6169
Июнь 70,0 94,6 91,6 108,3413 99,99716
Июль 57,6 75,2 75,4 86,12331 80,77033
Август 24,5 38,6 32,1 44,20691 38,14273
Сентябрь 36,3 38,9 47,5 44,55049 46,03956
Октябрь 70,7 78,7 92,6 90,1317 91,35063
Ноябрь 95,2 96,5 124,6 110,5173 117,5827
Декабрь 104,5 111,1 136,8 127,238 132,0314

 

Автокорреляция в рядах динамики. Под автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней ряда от предыдущих. Для определения, насколько вариация признаков динамического ряда обусловлена автокорреляцией, применяется коэффициент автокорреляции. Для его расчета параллельно исходным уровням ряда yi записываются уровни, сдвинутые на один период, т.е. yi-1 или yi+1.

1 ряд: у1 у2 у3 у4 у5

2 ряд: у2 у3 у4 у5 у6 - сдвинутый ряд

3ряд: у3 у4 у5 у6 у7 - сдвинутый ряд

Между сдвинутыми рядами находят коэффициенты корреляции по формуле:

Часто проводится одновременный анализ нескольких динамических рядов, колебания уровней которых взаимообусловлены. Проверка рядов на автокорреляцию осуществляется по критерию Дарбина-Уотсона:

,

где - отклонение фактического уровня ряда в точке t от теоретического (выровненного) значения.

 

При К=0 имеется полная положительная автокорреляция, при К=2 автокорреляция отсутствует, при К=4 полная отрицательная автокорреляция.


Контрольные задания к теме 6

1. Имеются следующие данные об остатках сырья и материалов на складе предприятия, млн. руб.: на 1/01 – 400; на 1/02 - 455; на 1/03 – 465; на 1/04 – 460. Определить среднемесячный остаток сырья и материалов на складе предприятия за 1 квартал.

Имеются следующие данные об остатках дебиторской задолженности фирмы «Сатурн» на начало месяца (тыс. руб.):

 

1 января - 394,0
1 февраля - 312,8
1 марта - 372,6
1 апреля - 356,3
1 мая - 390,4
1 июня - 402,8
1 июля - 413,0

 

Определите:

1)вид ряда динамики;

2) среднемесячные уровни остатка дебиторской задолженности за I, за II кварталы и за полугодие;

3) изменение остатка дебиторской задолженности во II квартале по сравнению с I кварталом.

 

2. Имеются данные о движении материальных средств на складе за январь – февраль, в т.:

Остаток на:   Остаток на:  
1.01 6.02 Отгружено 70
5.01 Поступило 120 10.02 Поступило 60
8.01 Отгружено 90 12.02 Отгружено 50
15.01 Поступило 80 20.02 Отгружено 30

 

Определить средний остаток за январь, февраль и изменение запаса в феврале по сравнению с январем.

 

3. Имеются следующие данные Росстата о количестве россиян отдыхающих за рубежом в период 1999-2003 годы (тыс. чел.):

Для анализа ряда динамики исчислите:

- абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста – базисные и цепные, абсолютное содержание 1% прироста, пункты роста. Полученные данные представьте в таблице;

- среднегодовое количество россиян, отдыхающих за рубежом;

- среднегодовой абсолютный прирост;

- среднегодовые темпы роста и прироста;

- изобразите динамику россиян, отдыхающих за рубежом, на графике. Сделайте выводы.

 

4. Производство продукции предприятия характеризуется следующими данными:

 

 

Для анализа ряда динамики исчислите:

- абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста – базисные и цепные, - абсолютное содержание 1% прироста, пункты роста. Полученные данные представьте в таблице;

- средний уровень ряда;

- среднегодовой абсолютный прирост;

- среднегодовой темп роста и прироста.

 

5. Численность населения города в 1989 году составила 934,1 тыс чел., а в 1999 году – 1020,3 тыс. чел. Чему равен среднегодовой темп роста населения в этот период? Чему будет равно население города в 2010 и 2015 годах, если темпы его роста не изменятся? За сколько лет население города может удвоиться, если темпы его роста сохранятся?

 

6. Заполнить таблицу:

Годы Производство продукции, млн. руб. По сравнению с предыдущим годом
абсол. приросты темпы роста темпы прироста А %
92,5        
  4,8      
    104,0    
      5,8  
         
  7,0     1,15

 

7. Имеются данные о потреблении овощей по области за 1995 – 2003 гг. на одного члена домохозяйства в месяц, кг.

 

10,0 10,7 12,0 10,3 12,9 16,3 15,6 17,8 18,0

Выявить основную тенденцию потребления овощей за 1995 – 2003 гг. методами скользящей средней и аналитического выравнивания по прямой.

 

8. Имеются данные о численности персонала, занятого исследованиями и разработками, в России.

Годы
Млн. чел. 2,22 1,94 1,68 1,53 1,32 1,11 1,06 0,99 0,93

 

Рассчитать показатели динамики численности персонала, занятого исследованиями и разработками, за 1996 – 2004 гг. Сделайте выводы. Найти уравнение тренда и сделать прогноз численности персонала на 2007 г.

 

9. Произвести анализ сезонной волны на примере количества зарегистрированных браков:

Месяц Зарегистрировано браков Месяц Зарегистрировано браков
I VII
II VIII
III IX
IV X
V XI
VI XII

 

10. Рассчитать поквартальные индексы сезонности по данным о производстве продукции (тыс. т.) за 2002 и 2003 гг.

 

Кварталы года Производство продукции, тыс. т. Кварталы года Производство продукции, тыс. т.
2002 г. I 298,8 2003 г. I 307,3
II 228,9 II 301,1
III 118,4 III 152,7
IV 270,4 IV 286,2

 

 


Тема 7. Индексы




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.