Мои Конспекты
Главная | Обратная связь

...

Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Свободные затухающие колебания. Коэффициент затухания, логарифмический декремент.





Помощь в ✍️ написании работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

В реальных условиях гармонические колебания практически не происходят. Взаимодействие колеблющейся системы со средой приводит к рассеянию,т.е. диссипации энергии колебаний. Энергия колебаний превращается во внутреннюю энергию среды. Колебания затухают.

Выведем на примере механических колебаний дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

При наличии сопротивления среды на материальную точку, совершающую колебания, действуют : - возвращающая (квазиупругая) сила и - сила сопротивления.

По второму закону Ньютона имеем:

max = Fx + Fсопр.х (5.6.1)

При небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна скорости материальной точки : или в проекции на ось Х:

, (5.6.2)

где r-коэффициент сопротивления среды.

Проекция возвращающей силы на ось Х равна по закону Гука:

, (5.6.3)

где k - коэффициент жесткости пружины.

Подставляя (5.6.2) и (5.6.3) в (5.6.1), перенесем все слагаемые в левую часть и все разделим на m. Обозначим:

и , .

Получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

(5.6.4)

Решение этого уравнения имеет вид:

(5.6.5)

 

Колебания, происходящие по описанному выше закону, называются затухающими.

Величина называется амплитудой затухающих колебаний.

Промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз (е – основание натурального логарифма), называется временем релаксации . Легко показать, что

(5.6.6)

Следовательно, коэффициент затухания - это величина, обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз (т.е. времени релаксации).

 

График затухающих колебаний , описываемых уравнением (5.6.5) показан на рис. 5.11. Пунктиром показана зависимость амплитуды колебаний от времени.

 

Затухающие колебания происходят с частотой , отличающейся от частоты собственных незатухающих колебаний .

Частота затухающих колебаний системы связана с частотой незатухающих колебаний этой же системы соотношением:

. (5.6.7)

Затухание нарушает периодичность колебаний и, строго говоря, к ним не применимо понятие периода и частоты. Однако, если затухание мало ( ), то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (минимумами) колеблющейся физической величины.

Тогда период затухающих колебаний равен

(5.6.8)

При увеличении сопротивления среды период Т становится все больше и при он обращается в , т.е. движение перестает быть периодическим. Система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Такое движение называется апериодическим.

Логарифм отношения амплитуд двух последовательных колебаний называется логарифмическим декрементом затухания.

Он равен: (5.6.9)

За время релаксации система совершает колебаний. Используя (5.6.6.) и (5.6.9.), имеем: . Следовательно,

.

Т.е. - величина, обратная числу колебаний, совершаемых за время релаксации.

 

 

Доверь свою работу ✍️ кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.