Мои Конспекты
Главная | Обратная связь

...

Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ





Помощь в ✍️ написании работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

а) Движение под действием восстанавливающей силы

 

ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА –это сила, которая прямо пропорциональна смещению от некоторой точки пространства и направленная всегда к этой точке

,

где с=const – коэффициент пропорциональности;

х0 – координата точки пространства, к которой направлена восстанавливающая сила.

Пусть на материальную точку действует только восстанавливающая сила. Этот случай движения является одной из разновидностей движения материальной точки под действием силы, зависящей от координат, однако в этом случае уравнение (15) интегрируется и решение можно получить аналитически. Разберем подробнее.

Для простоты будем считать, что х0=0, тогда уравнение (3) примет вид

(18)

Разделим полученное уравнение на m и введем обозначение

(19)

Тогда уравнение (18) примет вид

(20)

Характеристическое уравнение, соответствующее полученному дифференциальному уравнению, имеет вид

Корнями такого алгебраического уравнения являются мнимые числа

где j – мнимая единица.

В этом случае решение уравнения (20) ищется в виде

(21)

где С1 и С2 – константы интегрирования.

ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ – это такое движение материальной точки, когда закон ее движения изменяется пропорционально синусу, аргумент которого в свою очередь прямо пропорционален времени движения.

АМПЛИТУДА колебаний – это коэффициент перед синусом в законе гармонического движения.

ФАЗА колебаний – это аргумент синуса в законе гармонического движения.

ПЕРИОД колебаний – это промежуток времени, по истечении которого фаза колебаний повторяется.

КРУГОВАЯ ЧАСТОТА колебаний – это количество повторений фазы колебаний за одну секунду.

Из тригонометрии известно, что выражение (21) можно преобразовать к виду

(22)

где А и a - постоянные величины.

С учетом введенных определений можно сделать вывод, что ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ СИЛЫ ЯВЛЯЕТСЯ ГАРМОНИЧЕСКИМ КОЛЕБАНИЕМ, причем в выражении (22) А – это амплитуда; a - начальная фаза колебаний; kt+a - текущая фаза колебаний; k – круговая частота.

Период колебаний можно определить по формуле

Продифференцировав выражение (22), получим зависимость скорости колебаний от времени

(23)

Примем начальные условия

(24)

Подставив (24) в (22) и (23), получим систему двух уравнений с двумя неизвестными А и a

Выполнив несложные преобразования, можем получить выражение для амплитуды и начальной фазы колебаний (полученные формулы верны только при наличии одной восстанавливающей силы; при наличии других сил выражения изменятся)

Полученные результаты позволяют сделать вывод, что КРУГОВАЯ ЧАСТОТА и ПЕРИОД КОЛЕБАНИЙ НЕ ЗАВИСЯТ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ, а определяются только жесткостью и инерционностью колебательной системы. В свою очередь АМПЛИТУДА и НАЧАЛЬНАЯ ФАЗА КОЛЕБАНИЙ ЗАВИСЯТ ЕЩЕ И ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ.

 

 

б) Движение под действием восстанавливающей и постоянной сил

 

Пусть на точку действует восстанавливающая сила Fвост и постоянная сила F0. Тогда из (3) имеем

Воспользовавшись (19), получим

(28)

Дифференциальное уравнение (28) является неоднородным, поэтому его решение ищется в виде

(29)

где хобщ – общее решение однородного уравнения;

хчаст – частное решение.

Так как однородное уравнение – это фактически уравнение (20), то общее решение хобщможно представить в виде (21) или (22).

Частное решение будем искать в виде

Подставив частное решение в (28), с учетом, что , получим

СТАТИЧЕСКОЕ УДЛИНЕНИЕ – это отношение постоянной силы к коэффициенту восстанавливающей силы

Таким образом, окончательно получаем решение уравнения (28) в виде

(30)

ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОСТОЯННОЙ И ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ СИЛ МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА БУДЕТ СОВЕРШАТЬ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, НО ЦЕНТР КОЛЕБАНИЙ БУДЕТ СМЕЩЕН ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ НА ВЕЛИЧИНУ СТАТИЧЕСКОГО УДЛИНЕНИЯ.

 

в) Движение под действием восстанавливающей и силы вязкого трения

 

СИЛА ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ – это сила, прямо пропорциональная скорости материальной точки и направленная против ее движения

где l - коэффициент вязкости.

Тогда уравнение (3) примет вид

Если ввести обозначение , то с учетом (19) это уравнение можно преобразовать к виду

(31)

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (31) имеет вид

Его корни определяются выражением

(32)

В зависимости от подкоренного выражения меняется вид решения уравнения (31). Рассмотрим два случая

1) Пусть , т.е.

Обозначим , тогда

С учетом введенных обозначений решение уравнения (31) можно представить в виде

(33)

Движение материальной точки по закону (33) называется ЗАТУХАЮЩИМИ КОЛЕБАНИЯМИ. Для этих колебаний характерно следующее.

Во-первых, для различных моментов времени выполняется соотношение или .

Во-вторых, период затухающих колебаний

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ХАРАКТЕРИЗУЮТСЯ ПЛАВНЫМ УМЕНЬШЕНИЕМ АМПЛИТУДЫ И УВЕЛИЧЕНИЕМ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ.

На рис. 1 показан пример графика затухающих колебаний.

Рис. 1.

Пусть в момент времени

,

а при

или (34)

Таким образом, размах колебаний образует убывающую геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии, определяемый формулой (34), называется ДЕКРЕМЕНТ КОЛЕБАНИЙ, а величина ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ДЕКРЕМЕНТ КОЛЕБАНИЙ.

2) Пусть , т.е. .

Тогда с учетом формулы (32), введенной в предыдущем пункте, решение уравнения (31) ищется в виде

(35)

Из формулы (32) следует, что корни характеристического уравнения z1 и z2 являются отрицательными величинами.

Движение материальной точки, которое происходит по закону (35), называется АПЕРИОДИЧЕСКИМ. В апериодическом движении присутствует фактически только одно полуколебание. Материальная точка просто приближается замедленно к своему равновесному положению. На рис. 2 показаны примеры поведения апериодического закона при различных начальных условиях.

Рис. 2.

 

ПРИ ДВИЖЕНИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ СИЛЫ И СИЛЫ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ, ЕСЛИ СИЛЫ ВЯЗКОСТИ ДОСТАТОЧНО ВЕЛИКИ, ТО ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ БУДЕТ АПЕРИОДИЧЕСКИМ, А ЕСЛИ МАЛЫ – ТО ЗАТУХАЮЩИМ.

 

г) Движение под действием восстанавливающей и возмущающей гармонических сил

Выражение для гармонической возмущающей силы имеет вид

где F0 – амплитуда колебаний возмущающей силы;

р – частота колебаний возмущающей силы.

Тогда уравнение (3) примет вид

Учитывая замену (19), получим

(36)

Решение уравнения (36) ищется в виде (29), причем общее решение однородного уравнения уже получено (20), а частное решение будем искать в виде

где В – неизвестная константа.

Учитывая

из (36) можем получить

Так как эта формула должна быть верна для любого момента времени, то, сократив общий множитель , получим

или

Окончательно решение уравнения (36)примет вид

(37)

ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ И ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛ ЯВЛЯЕТСЯ СУММОЙ ДВУХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ: С ЧАСТОТОЙ k (СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ) И ЧАСТОТОЙ р (ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ).

Обратим внимание на второе слагаемое в (37). Если частота вынужденных колебаний оказывается близка к частоте собственных ( ), то амплитуда вынужденных колебаний при отсутствии других сил неограниченно возрастает

Значительное увеличение амплитуды вынужденных колебаний без увеличения возмущающей силы называется РЕЗОНАНС.

Резонанс является одним из важнейших феноменов механики. С одной стороны, он очень вреден для жестких конструкций. В самолетостроении, кораблестроении, моторостроении и т.д. проектировщики тратят массу сил и средств, добиваясь того, чтобы собственные частоты конструкции в целом и отдельных ее узлов не были близки частотам внешних нагрузок. А с другой стороны, движение механизма в режиме резонанса требует минимальных затрат энергии на поддержание движения (только компенсация затрат на преодоление сил трения). Это особенно важно для механизмов, работающих в режиме периодического движения, т.е. «разгон – торможение – выстой – разгон …» (двигатели, конвейеры, прессы, средства механизации, роботы и т.д.). При этом и разгон, и торможение требуют затрат энергии, которые в случае резонансного движения будут минимальны. Энергетические ресурсы нашей планеты (нефть, уголь, газ) не безграничны и человечеству рано или поздно придется больше уделять внимания ресурсосберегающим технологиям. Поэтому у резонансных механизмов большое будущее.

 

д) Движение под действием восстанавливающей силы, силы вязкого трения и возмущающей гармонической силы

 

Уравнение (3) в этом случае имеет вид

(38)

Без вывода приведем решение уравнения (38)

(39)

где общее решение однородного уравнения, определяемое так, как это изложено в пункте в), т.е. (33) или (35);

амплитуда вынужденных колебаний;

начальная фаза вынужденных колебаний.

В рассматриваемом случае ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ СКЛАДЫВАЕТСЯ ИЗ ДВУХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ – СОБСТВЕННЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ, НО ПОСКОЛЬКУ СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЯВЛЯЮТСЯ ЛИБО ЗАТУХАЮЩИМИ, ЛИБО АПЕРИОДИЧЕСКИМИ, ТО ПО ПРОШЕСТВИИ КОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА ВРЕМЕНИ ИХ ВЛИЯНИЕ СТАНЕТ ИСЧЕЗАЮЩЕ МАЛЫМ И ПОВЕДЕНИЕ ТОЧКИ БУДУТ ОПРЕДЕЛЯТЬ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

 

 

Доверь свою работу ✍️ кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.